Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E為BC上一動點（不與B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延長線交于點G，設BE=x，△DEF的面積為S．
（1）求用x表示S的函數表達式，并寫出x的取值范圍；
（2）是否存在一點E，使S_△DEF：S_ABCD=1：2？若存在，求出相應的x；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，得到兩組對邊平行且相等，可知AD與BC平行，由兩直線平行同旁內角互補可知∠A和∠B互補，由∠A的度數求出∠B的度數，又EF與AB垂直，由垂直定義得到∠BFE為直角，進而求出∠FEB為30°，又BE=x，根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可表示出BF，進而利用勾股定理表示出EF，即為所求三角形的底，然后求EF邊上的高，根據題意可知DG即為EF邊上的高，下來求DG，在直角三角形CEG中，由對頂角相等可知∠CEG=∠FGB=30°，又EC=BC-BE，表示出EC，再根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可表示出CG，根據CG+DC即可表示出DG，最后利用三角形的面積公式即可用x表示出△DEF的面積為S，再根據E為BC上一動點，且不與B重合可知x的范圍；
（2）存在，當E與C重合時，S_△DEF：S_ABCD=1：2，理由為：過D作BC邊上的垂線，交BC的延長線與M，DM即為平行四邊形BC邊上的高，由AB與DC平行，根據兩直線平行，同位角相等可知∠DCM=∠B=60°，又∠DMC=90°，可求出∠CDM=30°，根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可求出CM的長，再利用勾股定理即可求出DM的長，然后利用平行四邊形的面積公式底乘以高即可求出平行四邊形ABCD的面積，又S_△DEF：S_ABCD=1：2，可知三角形DEF的面積等于平行四邊形面積的一半，進而求出三角形DEF的面積，令第一問表示出的S等于求出的面積，列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，故存在．

解答：解：（1）∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠BAD=120°，
∴∠B=60°，
又∵EF⊥AB，且AB∥DC，
∴∠BFG=∠EGC=90°，
∴∠FEB=30°，又BE=x，
∴BF=

1

2

BE=

1

2

x（直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），
根據勾股定理得：EF=

3

2

x，
在Rt△ECG中，由BC=3，DC=4，則EC=BC-BE=3-x，
∵∠CEG=∠FEB=30°，
∴CG=

1

2

EC=

1

2

（3-x），
∴DG=DC+CG=4+

1

2

（3-x），
則△DEF的面積為S=

1

2

EF•DG=

1

2

×

3

2

x×[4+

1

2

（3-x）]=-

3

8

x²+

11 3

8

x（0＜x≤3）；

（2）存在，當E與C重合時，S_△DEF：S_ABCD=1：2，理由如下：
過D作平行四邊形BC邊上的高，角BC的延長線與點M，如圖所示，
∵平行四邊形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠DCM=∠B=60°，
在Rt△DCM中，DC=4，∠CDM=30°，
∴CM=

1

2

DC=2，
根據勾股定理求得：DM=2

3

，
∴平行四邊形ABCD的面積為BC•DM=3×2

3

=6

3

，
由S_△DEF：S_ABCD=1：2，得到S_△DEF=

1

2

S_ABCD=3

3

，
根據第一問可知：S=-

3

8

x²+

11 3

8

x=3

3

，
整理得：（x-3）（x-8）=0，
解得：x=3或x=8（舍去）．
則存在一點E，當E與C重合時，S_△DEF：S_ABCD=1：2，此時x=3．

點評：此題考查了平行四邊形的性質，直角三角形的性質，以及一元二次方程的應用，利用了函數及方程的思想．由題意得出DG為三角形DEF中EF邊上的高是第一問的突破點，探究存在性問題常先假設結論成立，看是否導致矛盾，還是達到與已知條件相符，從而確定探究的結論是否正確，這種方法稱為“假設驗證法”，本題第二問利用的是此方法．