Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC邊上一點．
（1）若D是BC邊的中點，如圖1，則AD²+BD•CD與BC²的大小關系是______（直接填空，不必證明）
（2）如圖2，若D是△ABC中BC邊上任意一點，則（1）中的結論還成立嗎？請證明你的結論．

Answer 1

解：（1）AD²+BD•CD與BC²的大小關系是AD²+BD•CD=BC²；

（2）過A作AM⊥BC于M，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=45°，BM=CM=AM，
設BM=CM=AM=a，
則AD²+BD•CD=AM²+MD²+（BM+MD）•（CM-MD）=AM²+MD²+BM²-MD²=AM²+BM²=2a²，
而BC²=（2a）²=4a²，
∴AD²+BD•CD=BC²．
分析：（1）根據題給條件可知：BD=CD=AD=BC，繼而即可得出AD²+BD•CD與BC²的大小關系；
（2）過A作AM⊥BC于M，AB=AC，∠BAC=90°，可知BM=CM=AM，并設其長為a，則AD²+BD•CD=AM²+MD²+（BM+MD）•（CM-MD）=AM²+MD²+BM²-MD²=AM²+BM²=2a²，而BC²=（2a）²=4a²，繼而即可得出結論．
點評：本題考查勾股定理的知識，第二問的解題關鍵是利用勾股定理將AD²化為AM²+MD²，難度一般．