Question

（2012•大連二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，-3），AB⊥x軸，垂足為B，將線段AB繞點O順時針旋轉90°，得到線段CD（其中點A、B的對應點分別為點C、D）．設直線AC與x軸、y軸分別相交于點E、F．
（1）求經過B、E、F的拋物線的解析式；
（2）若點M在（1）中的拋物線上，且點M到點B的距離與到點D的距離之差最大，求點M的坐標；
（3）若點G在直線AC上，且點G到點B的距離與到點D的距離之和最小，求此最小值．

Answer 1

分析：（1）根據已知得出B（1，0），C（-3，-1），D（0，-1），首先求出直線AC的解析式，進而求出點E、F的坐標，再利用交點式求出解析式即可；
（2）首先求出直線BD的解析式為y=k₁x+b₁，再設點M的坐標為（m，m-1），代入二次函數解析式求出即可；
（3）首先得出△DGF∽△EOF，求出DP的長，再利用△DPQ∽△EFO，HO=PQ=

6

5

，PH=OQ=

17

5

，再利用勾股定理求出最小值BP即可．

解答：解：（1）由題意得B（1，0），C（-3，-1），D（0，-1）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，則  

k+b=-3 -3k+b=-1.

解得

k=- 1 2 b=- 5 2 .

∴y=-

1

2

x-

5

2

．
∴點E、F的坐標分別是（-5，0），（0，-

5

2

）．
設所求拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+5），
∴-

5

2

=a•(-1)×5，即a=

1

2

．
∴y=

1

2

x2+2x-

5

2

．

（2）如圖1，連接BD并延長，與拋物線的交點即為所求點M．
設直線BD的解析式為y=k₁x+b₁，
則 

k1+b1=0 b1=-1.

解得 

k1=1 b1=-1.

∴y=x-1．
設點M的坐標為（m，m-1），
∴m-1=

1

2

m2+2m-

5

2

，
解得m₁=-3，m₂=1 （舍去）．
即點M的坐標為（-3，-4）．

（3）如圖2，作點D關于直線AC的對稱點P，DP與AC相交于點G，連接BP．則BP長即為所求的最小值．
由（1）知，OE=5，OF=

5

2

，OD=1，
故DF=

3

2

，EF=

52+( 5 2 )2

=

5

2

5

．
∵∠DGF=∠EOF=90°，∠DFG=∠EFO，
∴△DGF∽△EOF．
∴

DG

EO

=

DF

EF

=

GF

OF

，
∴DG=

EO•DF

EF

=

3

5

5

，GF=

OF•DF

EF

=

3

10

5

．
∴DP=2DG=

6

5

5

．
作PQ⊥y軸，PH⊥x軸，垂足分別為Q、H．
同理可證△DPQ∽△EFO，
∴

DP

EF

=

DQ

EO

=

PQ

FO

，
∴PQ=

DP•FO

EF

=

6

5

，DQ=

DP•EO

EF

=

12

5

．
∴HO=PQ=

6

5

，PH=OQ=

17

5

．
∴BP=

(1+ 6 5 )2+( 17 5 )2

=

410

5

．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及待定系數法求一次函數解析式和相似三角形的判定與性質，根據軸對稱得出BP長即為所求的最小值是解題關鍵．