Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=2

2

，BC=6，∠B=45°．直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經過點A，斜邊與腰CD（或CD的延長線）交于點F．設BE=x，CF=y．
（1）求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求當x為何值時，y取得最大值，并求出該最大值；
（3）若△ABE為等腰三角形，求CF的長．

Answer 1

分析：（1）由題意得∠B=∠C，再求得∠AEB=∠EFC，可得出△ABE∽△EFC，從而得出y與x的函數關系式y=

6x-x2

2 2

，又E再BC上運動可得（0≤x≤6）；
（2）根據（1）的二次函數的關系式可求y的最大值；
（3）△ABE為等腰三角形有兩種情況，AB=AE或AE=BE①當AB=AE時BE=4，代入（1）的關系式可得y=2

2

②當AE=BE時BE=2代入關系式可得y=2

2

．③當AB=BE時也可求出CF的長．

解答：解：（1）由題意得∠B=∠C，∠AEB=180°-∠AEF-∠FEC=180°-45°=∠EFC．
∴△ABE∽△EFC，可得

AB

EC

=

BE

FC

=

2 2

6-X

=

x

y

，
故可得y=

6x-x2

2 2

（0≤x≤6）；

（2）由（1）得y=

-(x-3)2+9

2 2

，
∴當x=3時，y取得最大值

9

2 2

=

9 2

4

．

（3）△ABE為等腰三角形有兩種情況，AB=AE或AE=BE或AB=BE
①當AB=AE時BE=4，代入（1）的關系式可得y=2

2

，
②當AE=BE時BE=2，代入關系式可得y=2

2

，y的大小既是CF的長．
③當AB=BE=2

2

時，

∵∠B=45°，
∴∠BEA=67.5°，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴CF=CE=BC-BE=6-2

2

；
故可得：若△ABE為等腰三角形，CF的長為2

2

或6-2

2

．

點評：本題屬有難度的題，關鍵在于觀察x與y的關系怎樣建立，得出x與y的關系后就簡單了．