Question

已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=2a．在AC、BC上分別有一動點P、Q，且PQ始終平分△ABC的面積．作PR⊥CA交AB于R，QS⊥BC交AB于S．線段BS、SR、RA能否構成一個直角三角形，證明你的猜想．

Answer 1

證明：∵直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=2a，
∴AB==a，
設CP=b，則AP=a-b，
設CQ=x，∵S_△CPQ=S_△ABC，即bx=×a•2a，
∴x=，即CQ=，BQ=2a-=．
∵PR∥BC，
∴△APR∽△ACB，
∴=，
∴AR===（a-b），
同理，BS===，
∴SR=a-（a-b）-==．
∵[（a-b）]²+{]²=[]²，
即AR²+BS²=SR²．
∴線段BS、SR、RA能構成一個直角三角形．
分析：設CP=b，則可以用b表示出AP的長，然后利用S_△CPQ=S_△ABC，表示出BQ的長，根據△APR∽△ACB，相似三角形的對應邊的比相等，即可利用a、b表示出AR的長，同理可以表示出BS的長，則ER可以表示出，然后利用勾股定理的逆定理即可判斷．
點評：本題考查了勾股定理的逆定理，以及相似三角形的性質，正確表示出AR的長度是關鍵．