Question

【題目】 如圖，直線交軸于點，交軸于點，拋物線經過點，交軸于點．點為拋物線上一動點，過點作軸的垂線，交直線于點，設點的橫坐標為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點在直線下方的拋物線上運動時，求線段長度的最大值；

（3）若點是平面內任意一點，是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當時，線段的長度有最大值，為；（3）存在，的值為，，或．

【解析】

（1）先根據直線解析式求得點A的坐標，再將點A、B的坐標代入拋物線的解析式中即可得到答案；（2）根據PD⊥x軸知點P的橫坐標為m，由點D與點P所在的位置表示兩點的坐標，得到線段PD的二次函數解析式，利用頂點式解析式即可求得最大值；（3）當四邊形為菱形時四條邊相等，故△BCP為等腰三角形，分三種情況，根據兩邊相等求得m值

解：（1）對于，

令，得，

∴ ．

將，代入，

得

解得

故拋物線的解析式為．

（2）易得，，

∴

∵ 點在直線下方的拋物線上，

∴ ．

∵

∴ 當時，線段的長度有最大值，為．

（3）存在，的值為，，或．

解法提示：當以，，，為頂點的四邊形為菱形時，必為等腰三角形．

由，，，

得，，

．

分以下三種情況討論．

①當時，，

即，

解得（不合題意，舍去），．

②當時，，

即，

解得，．

③當時，，

即，

解．

綜上可知，的值為，，或．