Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的點，點E在AB上，且PA=PE．

（1）求證：PC=PE；

（2）求∠CPE的度數；

（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，試探究∠CPE與∠ABC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠EPC=90°；（3）∠ABC+∠EPC=180°．

【解析】

試題分析：（1）先證出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；

（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，進而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到結論；

（3）借助（1）和（2）的證明方法容易證明結論．

（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，

∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，

∵PA=PE，

∴PC=PE；

（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°，

∵∠ABC=90°，

∴∠EPC=90°；

（3）∠ABC+∠EPC=180°，

理由：解：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴∠BAP=∠BCP，

∵PA=PE，

∴∠DAP=∠DCP，

∴∠PAE=∠PEA，

∴∠CPB=∠AEP，

∵∠AEP+∠PEB=180°，

∴∠PEB+∠PCB=180°，

∴∠ABC+∠EPC=180°．