Question

在平面直角坐標系內，二次函數y=ax²+bx+c圖象與x軸交于A（-1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），直線y=x+1與二次函數的圖象交于A、D兩點，
（1）求出二次函數的解析式以及D點的坐標；
（2）點P是直線AD上方拋物線上的一點，連結PB，交AD于點E，使

PE

BE

=

4

5

，求出符合要求的點P的坐標；
（3）在（2）的條件下，連結PD，
①直接寫出PD與AD的關系

PD⊥AD

；
②點M是平面內一點，使△PDM∽△ADB，求符合要求的所有點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）把點A、B、C的坐標代入二次函數解析式，利用待定系數法求函數解析式解答，再與直線y=x+1聯立求解即可得到點D的坐標；
（2）設PF∥AD交x軸于F，根據平行線分線段成比例定理求出AF的長度，再求出直線PF的解析式，然后與二次函數解析式聯立求解即可得到點P的坐標；
（3）①設直線PD的解析式為y=kx+b，利用待定系數法求出直線的解析式，從而得到直線PD與x軸的夾角為45°，判定PD與AD垂直；
②利用勾股定理列式求出AD，根據點P、D的坐標求出PD的長度，然后根據直線PD與x軸的夾角為45°，利用相似三角形對應邊成比例列式求出PM的長度，分①點M在PD下方時，PM∥y軸，求出點M的縱坐標，從而得解；②點M在PD上方時，PM∥x軸，求出點M的橫坐標，從而得解．

解答：解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+c圖象經過A（-1，0），B（4，0），C（0，4），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=-1 b=3 c=4

，
所以，二次函數的解析式為y=-x²+3x+4，
聯立

y=-x2+3x+4 y=x+1

，
解得

x1=-1 y1=0

（為點A坐標），

x2=3 y2=4

，
所以，點D的坐標為（3，4）；

（2）設PF∥AD交x軸于F，
則

AF

AB

=

PE

BE

，
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AB=4-（-1）=5，
∴

AF

5

=

4

5

，
解得AF=4，
∴OF=4+1=5，
點F的坐標為（-5，0），
易求直線PF的解析式為y=x+5，
聯立

y=-x2+3x+4 y=x+5

，
解得

x=1 y=6

，
所以，點P的坐標為（1，6）；

（3）①設直線PD的解析式為y=kx+b，
則

k+b=6 3k+b=4

，
解得

k=-1 b=7

，
所以，直線PD的解析式為y=-x+7，
∴直線PD與x軸的負方向夾角為45°，
∵直線y=x+1與x軸的正方向夾角為45°，
∴PD⊥AD；
②根據勾股定理，AD=

(3+1)2+42

=4

2

，
∵P（1，6），D（3，4），
∴PD=

(1-3)2+(6-4)2

=2

2

，
∵∠DAB=45°，PD與x軸負方向夾角為45°，
∴PM∥y軸或PM∥x軸，
∵△PDM∽△ADB，
∴

PM

AB

=

PD

AD

，
即

PM

5

=

2 2

4 2

，
解得PM=

5

2

，
①點M在PD下方時，PM∥y軸，點M的縱坐標為6-

5

2

=

7

2

，
此時，點M的坐標為M₁（1，

7

2

），
②點M在PD上方時，PM∥x軸，點M的橫坐標為1+

5

2

=

7

2

，
此時，點M的坐標為M₂（

7

2

，6），
綜上所述，點M的坐標為（1，

7

2

）或（

7

2

，6）時，△PDM∽△ADB．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，聯立兩函數解析式求交點坐標，平行線分線段成比例定理，相似三角形對應邊成比例的性質，兩點間的距離公式，（2）考慮到利用PF∥AD，根據平行線分線段成比例定理求出直線PF的解析式是解題的關鍵，（3）判斷出PM∥y軸或PM∥x軸是解題的關鍵．