Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的與邊交于點，過點作交于點，連接．

求證：是的切線；

若的半徑為，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，根據等邊對等角得到∠A=∠ADO，再結合平行線的性質可得到∠DOE=∠COE，從而得到△ODE≌△OCE，根據全等三角形的性質得到∠ODE=∠ACB=90°，由此得到結論；

（2）連接CD，根據平行線等分線段定理得到BE=CE，根據勾股定理得到AB=10，由三角形的面積公式得到CD的長．在Rt△CBD中，由勾股定理即可得到結論．

（1）連接OD．

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．

∵OE∥AB，∴∠A=∠EOC，∠ADO=∠DOE，∴∠DOE=∠COE．

在△ODE與△OCE中，∵OD=OC，∠DOE=∠COE，OE=OE，∴△ODE≌△OCE，∴∠ODE=∠ACB=90°，∴DE是⊙O的切線；

（2）連接CD．

∵OE∥AB，AO=OC，∴BE=EC．

∵⊙O的半徑為3，EC=4，∴BC=8，AC=6．

∵∠ACB=90°，∴AB=10．

∵AC是直徑，∴∠ADC=90°．

∵S△ABC=ACBC=ABCD，∴6×8=10×CD，解得：CD=，∴BD==．