Question

【題目】平面直角坐標系在代數和幾何之間架起了一座橋梁，實現了幾何方法與代數方法的結合，使數與形統一了起來，在平面直角坐標系中，已知點A（x1，y1）、B（x2，y2），則A、B兩點之間的距離可以表示為AB＝，例如A（2，1）、B（﹣1，2），則A、B兩點之間的距離AB＝＝；反之，代數式也可以看作平面直角坐標系中的點C（5，1）與點D（1，﹣2）之間的距離．

（1）已知點M（﹣7，6），N（1，0），則M、N兩點間的距離為　 　；

（2）求代數式 的最小值；

（3）求代數式|| 取最大值時，x的取值．

Answer 1

【答案】（1）10；（2）13；（3）

【解析】

（1）根據兩點間的距離公式即可得到結論；

（2）由（1）可知：表示x軸上點P（x，0）與點E（-1，7）的距離PE和點A（x，0）與點F（4，5）的距離PF之和，即：PE+PF，作E關于x軸對稱點（-1，-7），最小值等于長，由（1）即可得到結論；

（3）根據已知條件得到，由（1）可知：|

表示點A（x，0）與點E（2，3）的距離和點A（x，0）與點F（-，2）的距離之差，當最大值時，即直線EF與x軸的交點為A（x，0），于是得到結論．

解：（1）∵點M（-7，6），N（1，0），

∴MN==10，

即M、N兩點間的距離是10；

故答案為：10；

（2）由（1）可知：表示點P（x，0）與點E（-1，7）的距離和點A（x，0）與點F（4，5）的距離之和，

即在x軸找到一點到EF的和最小，由將軍飲馬模型可知作對稱點，作E關于x軸對稱點（-1，-7），連接，即AF+AE=為最小值，

∴最小值為的長，

∴EF==13；

∴代數式的最小值是13；

故答案為13.

（3）∵=，

∴由（1）可知：表示點P（x，0）與點E（2，3）的距離PE和點P（x，0）與點F（-，2）的距離之PF差，即|PE-PF|當P、E、F三點共線時取最大值時，即直線EF與x軸的交點為A（x，0），

設直線EF的解析式為y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直線EF的解析式為

當y=0時，x= ，

∴代數式取最大值時，x的取值為，