Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm，等腰直角三角形PMN的斜邊MN=10cm，A點與N點重合，MN和AB在一條直線上，設等腰梯形ABCD不動，等腰直角三角形PMN沿AB所在直線以1cm/s的速度向右移動，直到點N與點B重合為止．
（1）等腰直角三角形PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由

 

形變化為

 

形；
（2）設當等腰直角三角形PMN移動x（s）時，等腰直角三角形PMN與等腰梯形ABCD重疊部分的面積為y（cm²）
①當x=6時，求y的值；
②當6＜x≤10時，求y與x的函數關系．

Answer 1

分析：（1）根據已知求出∠PNM=∠DAB=45°，求出∠AEN，根據等腰直角三角形的判定判斷即可；推出∠DAB=∠PNM=45°，根據等腰梯形的判定判斷即可；
（2）可分為以下兩種情況：
①當0＜x≤6時，重疊部分的形狀為等腰直角三角形EAN，AN=x（cm），過點E作EH⊥AB于點H，則EH平分AN，求出EH，根據三角形的面積公式求出即可；②當6＜x≤10時，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED，求出AN=x（cm），CE=BN=10-x，DE=x-6，過點D作DF⊥AB于F，過點C作CG⊥AB于G，求出DF，代入梯形面積公式求出即可；

解答：解：（1）由條件可得出∠PNM=∠DAB=45°，所以有等腰Rt△PMN向右平移的過程中與等腰梯形ABCD重疊部分的形狀由等腰直角三角形變化為等腰梯形；
故答案為：等腰直角三角形、等腰梯形；

（2）重疊部分圖形的形狀可分為兩種情況：等腰Rt△PMN在整個移動過程中與等腰梯形ABCD重疊部分圖形的形狀可分為以下兩種情況：
①當0＜x≤6時，重疊部分的形狀是等腰直角三角形EAN（如圖①）．
此時AN=xcm，過點E作EH⊥AB于點H，則EH平分AN，
∴y=S_△ANE=

1

2

AN•EH=

1

2

x•

1

2

x=

1

4

x²，
∴當x=6時，y=

1

4

×62=9，
②當6＜x≤10時，重疊部分的形狀是等腰梯形ANED（如圖②）．
此時AN=xcm，
∵∠PNM=∠B=45°，∴EN∥BC．
又∵CE∥BN，
∴四邊形ENBC是平行四邊形，CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6．
過點D作DF⊥AB于F，過點C作CG⊥AB于G，
則AF=BG，DF=AF=

1

2

（10-4）=3，
∴y=S_T梯形ANED=

1

2

（DE+AN）•DF=

1

2

（x-6+x）×3=3x-9．

點評：本題主要考查對等腰梯形的性質和判定，等腰三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，三角形的面積，平移的性質，等腰直角三角形等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理和計算是解此題的關鍵．