Question

如圖，拋物線 y=ax²+bx+3經過A（1，0）、B（4，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小？若存在，求出四邊形PAOC周長的最小值；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，點Q是線段OB上一動點，連接BC，在線段BC上存在點M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形？求點M的坐標．

Answer 1

【考點】二次函數綜合題．

【分析】（1）把點A（1，0）、B（4，0）兩點的坐標代入函數解析式，利用待定系數法求解；

（2）A、B關于對稱軸對稱，連接BC，則BC與對稱軸的交點即為所求的點P，此時PA+PC=BC，四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC；根據勾股定理求得BC，即可求得；

（3）分兩種情況分別討論，即可求得．

【解答】解：（1）由已知得，

解得．

所以，拋物線的解析式為y=x²﹣x+3．

（2）∵A、B關于對稱軸對稱，如圖1，連接BC，

∴BC與對稱軸的交點即為所求的點P，此時PA+PC=BC，

∴四邊形PAOC的周長最小值為：OC+OA+BC，

∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），

∴OA=1，OC=3，BC==5，

∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在拋物線的對稱軸上存在點P，使得四邊形PAOC的周長最小，四邊形PAOC周長的最小值為9．

（3）∵B（4，0）、C（0，3），

∴直線BC的解析式為y=﹣x+3，

①當∠BQM=90°時，如圖2，設M（a，b），

∵∠CMQ＞90°，

∴只能CM=MQ=b，

∵MQ∥y軸，

∴△MQB∽△COB，

∴=，即=，解得b=，代入y=﹣x+3得=﹣a+3，解得a=，

∴M（，）；

②當∠QMB=90°時，如圖3，

∵∠CMQ=90°，

∴只能CM=MQ，

設CM=MQ=m，

∴BM=5﹣m，

∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，

∴△BMQ∽△BOC，

∴=，解得m=，

作MN∥OB，

∴==，即==，

∴MN=，CN=，

∴ON=OC﹣CN=3﹣=，

∴M（，）．

綜上，在線段BC上存在這樣的點M，使△CQM為等腰三角形且△BQM為直角三角形，點M的坐標為（，）或（，）．

【點評】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求二次函數的解析式，軸對稱﹣最短路線問題，等腰三角形的性質等；分類討論思想的運用是本題的關鍵．