Question

【題目】請閱讀下列材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，在邊長為a(a＞2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1，當∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°時，求正方形MNPQ的面積．

小明發現，分別延長QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延長線于點R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四個全等的等腰直角三角形(如圖2) ．

請回答：

(1)若將上述四個等腰直角三角形拼成一個新的正方形(無縫隙不重疊)，則這個新正方形的邊為 ；

(2)求正方形MNPQ的面積．

(3)參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3，在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF，再分別過點D，E，F作BC，AC，AB的垂線，得到等邊△RPQ．若S△RPQ=，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）a

（2）∵△RQF，△SMG，△TNH，△WPE四個全等的等腰直角三角形面積和為，正方形ABCD的面積為，∴。

（3）

【解析】試題分析：（1）四個等腰直角三角形的斜邊長為a，其拼成的正方形面積為a2，邊長為a；

（2）如題圖2所示，正方形MNPQ的面積等于四個虛線小等腰直角三角形的面積之和，據此求出正方形MNPQ的面積；

（3）參照小明的解題思路，對問題做同樣的等積變換．如答圖1所示，三個等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面積和等于等邊三角形△ABC的面積，故陰影三角形△PQR的面積等于三個虛線等腰三角形的面積之和．據此列方程求出AD的長度．

試題解析：（1）四個等腰直角三角形的斜邊長為a，則斜邊上的高為a，

每個等腰直角三角形的面積為： a×a=a2，

則拼成的新正方形面積為：4×a2=a2，即與原正方形ABCD面積相等，

∴這個新正方形的邊長為a；

（2）∵四個等腰直角三角形的面積和為a2，正方形ABCD的面積為a2，

∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2；

（3）如圖1所示，分別延長RD，QF，PE，交FA，EC，DB的延長線于點S，T，W．

由題意易得：△RSF，△QET，△PDW均為底角是30°的等腰三角形，其底邊長均等于△ABC的邊長．

不妨設等邊三角形邊長為a，則SF=AC=a．

如答圖2所示，過點R作RM⊥SF于點M，則MF=SF=a，

在Rt△RMF中，RM=MFtan30°=a×=a，

∴S△RSF=img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2017/12/28/23/c8f2bc24/SYS201712282307356414948798_DA/SYS201712282307356414948798_DA.018.png" width="16" height="41" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />a×a=a2．

過點A作AN⊥SD于點N，設AD=AS=x，

則AN=ADsin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，

∴S△ADS=SDAN=×x×x=x2．

∵三個等腰三角形△RSF，△QET，△PDW的面積和=3S△RSF=3×a2=a2，

∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，

∴=3×x2，得x2=，

解得x=或x=-（不合題意，舍去）

∴x=，即AD的長為．