Question

如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD，等邊△ACE、等邊△BCF．
（1）求證：四邊形DAEF是平行四邊形；
（2）探究下列問題：（只填滿足的條件，不需證明）
①當△ABC滿足______條件時，四邊形DAEF是矩形；
②當△ABC滿足______條件時，四邊形DAEF是菱形；
③當△ABC滿足______條件時，以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在．

Answer 1

（1）證明：∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，
BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°，
∴∠DBA-∠FBA=∠FBC-∠FBA，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC和△DBF中，
∴△ABC≌△DBF．
∴AC=DF=AE．
同理△ABC≌△EFC．
∴AB=EF=AD．
∴四邊形ADFE是平行四邊形．

（2）解：當∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，
∴平行四邊形DAEF是矩形．
當AB=AC≠BC，有AD=AE，
∴平行四邊形DAEF是菱形．
當∠BAC=60°，△FBC與△ABC重合，故以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在．
分析：（1）、根據等邊三角形的性質證△ABC≌△DBF≌△EFC，就有AD=EF，DF=CE，從而得證四邊形DAEF是平行四邊形；
（2）、當∠BAC=150°，∠DAE=360°-60°-60°-150°=90°，所以平行四邊形DAEF是矩形；
當AB=AC≠BC，有AD=AE，所以平行四邊形DAEF是菱形；
當∠BAC=60°，△FBC與△ABC重合，故以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在．
點評：本題利用了等邊三角形的性質和全等三角形的判定和性質．