Question

如圖，⊙O的直徑=6cm，是延長線上的一點，過點作⊙O的切線，切點為，連接．

(1)若30°，求PC的長；

(2)若點在的延長線上運動，的平分線交于點，你認為∠的大小是否發生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出∠的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）PC=；（2）∠CMP=45°，即∠CMP的大小不發生變化．

【解析】

試題分析：（1）在圓中線段利用由切線定理求得∠OCP=90°，進而利用直角三角形PCO中的線段，結合解直角三角形求得PC即可．

（2）先根據切線的性質得到∠OCP=90°，再利用角平分線和圓周角的性質得到2∠A+2∠APM=90，即∠A+∠APM=45°，利用三角形的外角等于不相鄰的兩個內角和可知∠CMP=∠A+∠APM=45°，所以∠CMP的大小不發生變化．

試題解析：

解：（1）連接，

PC是⊙O的切線，

∴∠OCP=90°．

∵30°，OC==3，

∴，即PC=．

（2）∠CMP的大小不發生變化．

∵PM是∠CPA的平分線，

∴∠CPM=∠MPA．

∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．

在△APC中，

∵∠A＋∠ACP＋∠CPA=180°，

∴2∠A＋2∠MPA=90°，∠A＋∠MPA=45°．

∴∠CMP=∠A＋∠MPA=45°．即∠CMP的大小不發生變化．

考點：1.圓的切線的性質定理的證明；2.角平分線的性質．