Question

【題目】如圖，已知拋物線經過兩點A（﹣3，0），B（0，3），且其對稱軸為直線x＝﹣1．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點P是拋物線上點A與點B之間的動點（不包括點A，點B），求△PAB的面積的最大值，并求出此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）△PAB的面積的最大值為，此時點P的坐標（，）．

【解析】

（1）因為對稱軸是直線x=-1，所以得到點A（-3，0）的對稱點是（1，0），因此利用交點式y=a（x-x1）（x-x2），求出解析式．
（2）根據面積的和差，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得最大值，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

（1）∵拋物線對稱軸是直線x＝﹣1且經過點A（﹣3，0）

由拋物線的對稱性可知：拋物線還經過點（1，0）

設拋物線的解析式為y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0）

即：y＝a（x﹣1）（x+3）

把B（0，3）代入得：3＝﹣3a

∴a＝﹣1

∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣2x+3．

（2）設直線AB的解析式為y＝kx+b，

∵A（﹣3，0），B（0，3），

∴，

∴直線AB為y＝x+3，

作PQ⊥x軸于Q，交直線AB于M，

設P（x，﹣x2﹣2x+3），則M（x，x+3），

∴PM＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，

∴，

當時，，，

∴△PAB的面積的最大值為，此時點P的坐標為（，）.