Question

【題目】已知如圖，在平面直角坐標系中，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點(OA＜OB)，且OA、OB的長分別是一元二次方程x2-18x+72=0的兩根，點D為線段OB的中點，過點D作AB的垂線與線段AB相交于點C．

(1)求A、B兩點的坐標；

(2)求過點C的反比例函數解析式；

(3)已知點P在直線AD上，在平面內是否存在點Q，使以A、O、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) A(6，0)，B(0，12)； (2) y=； (3) 點Q坐標為(3，-3)或(，)或(，)或(6，6)．

【解析】

（1）直接求出一元二次方程的解，即可解決問題．

（2）先求出直線AB、CD的解析式．利用方程組求出點C坐標，即可解決問題．

（3）分四種情形①當OA是菱形AP1OQ1的對角線時，②當OA為菱形AP2Q2O的邊時，③當OA為菱形AP3Q3O的邊時，④當OA為菱形A Q4P4O的邊時，此時點P4與點D重合，菱形A Q4P4O變為正方形，分別求解即可．

（1）由x2-18x+72=0，解得：x=6或12，

∴OA=6，OB=12，

∴A(6，0)，B(0，12)；

（2）設直線AB的解析式為：y=kx+b，把A(6，0)，B(0，12)代入得：，解得，

∴直線AB的解析式為：y=-2x+12，

延長CD，交x軸與點E，

∵DC⊥AB，D(0，6)，

∴∠AEC+∠OAB=∠OBA+∠OAB=90°，

∴∠AEC=∠OBA，

∵∠DOE=∠AOB，OD=OA=6，

∴DOEAOB（AAS），

∴OE=OB=12，

∴E(-12，0)，

設直線DC的解析式為：y=kx+b，

把D(0，6)，E(-12，0)代入y=kx+b，得：，解得：，

∴直線DC的解析式為：y=x+6，

由，解得，

∴交點C坐標(，)，

∴過點C的反比例函數的解析式為：y=；

（3）①當OA是菱形AP1OQ1的對角線時，易知P1(3，3)，

∵P1與Q1關于x軸對稱，

∴Q1(3，-3)；

②當OA為菱形AP2Q2O的邊時，

∵OA=AP2=P2Q2=6，∠OAD=45°，

∴P2(6-3，3)，Q2(-3，3)；

③當OA為菱形AP3Q3O的邊時，同理可得Q3(3，-3)；

④當OA為菱形A Q4P4O的邊時，此時點P4與點D重合，菱形A Q4P4O變為正方形，Q4(6，6)，

綜上所述，滿足條件的點Q坐標為(3，-3)或(，)或(，)或(6，6)．