Question

（2010•黃巖區模擬）如圖，△ABC中，AB=BC，以AB為直徑作⊙O，點D是AC的中點，過點D作DE⊥BC，垂足為E．
（1）確定點D與⊙O的位置關系，并說明理由．
（2）確定直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由．
（3）過點D作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，若DG=10，FB=2，求直徑AB的長．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性質以及圓周角定理求出即可；
（2）連接OD，只要證明OD⊥DE即可．本題可根據等腰三角形中兩底角相等，將相等的角進行適當的轉換，即可證得OD⊥DE；
（3）利用垂徑定理以及相交線定理求出即可．

解答：證明：（1）連接BD，
∵AB=BC，以AB為直徑作⊙O，點D是AC的中點，
∴BD⊥AC，
∵AB是直徑，∠ADB=90°，
∴點D，在⊙O上；

（2）連接OD，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵BA=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ADO=∠C，
∴DO∥BC．
∵DE⊥BC，
∴DO⊥DE．
∵點D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線．
（3）∵過點D作DG⊥AB交⊙O于G，垂足為F，
DG=10，FB=2，
∴DF=FG=5，
∴DF²=BF×AF=25，
∴AF=

25

2

，
∴AB=

29

2

．

點評：此題考查了切線的判定、垂徑定理、相交弦定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．