Question

如圖，將矩形OABC置于平面直角坐標系xOy中，A（，0），C（0，2）．
（1）拋物線y=-x²+bx+c經過點B、C，求該拋物線的解析式；
（2）將矩形OABC繞原點順時針旋轉一個角度α（0°＜α＜90°），在旋轉過程中，當矩形的頂點落在（1）中的拋物線的對稱軸上時，求此時這個頂點的坐標；
（3）如圖（2），將矩形OABC繞原點順時針旋轉一個角度θ（0°＜θ＜180°），將得到矩形OA′B′C′，設A′C′的中點為點E，連接CE，當θ=______°時，線段CE的長度最大，最大值為______．

Answer 1

解：（1）∵矩形OABC，A（2，0），C（0，2），∴B（2，2）．
∴拋物線的對稱軸為x=．∴b=．
∴二次函數的解析式為：y=-x²+2x+2．

（2）①當頂點A落在對稱軸上時，設點A的對應點為點A′，連接OA′，
設對稱軸x=與x軸交于點D，∴OD=．
∴OA′=OA=2．
在Rt△OA′D中，根據勾股定理A′D=3．
∴A′（，-3）．
②當頂點落C對稱軸上時（如圖），設點C的對應點為點C′，連接OC′，
在Rt△OC′D中，根據勾股定理C′D=1．
∴C′（，1）．
③當頂點落B對稱軸上時，同理①可求出點B′的坐標是（，-3）；


（3）如右圖，設AC、OB的交點為E；
在Rt△OAB中，OA=2，AB=2，∴∠BOA=30°，OE=AB=2；
在OE旋轉過程中，可將點E的軌跡看作是以O為圓心，以OE為半徑的圓（旋轉角度：0°～180°）；
由圖可看出，當點E運動到y軸負半軸上時（即點E′的位置），CE最長；
此時，旋轉的角度：∠EOE′=∠BOA+90°=30°+90°=120°；
CE的最長值：CE′=OC+OE′=2+2=4；
故填：120°，4．
分析：（1）首先根據矩形的性質以及A、C點的坐標確定點B的坐標，再利用待定系數法確定該拋物線的解析式．
（2）設拋物線的對稱軸與x軸的交點為D，若矩形的頂點恰好落在拋物線對稱軸上時，該頂點、O、D正好構成一個直角三角形，由勾股定理即可確定這個頂點的坐標．
（3）觀察圖示可知：當點E運動到y軸負半軸上時，CE最長，找出了這個關鍵位置，解答問題就簡單多了．
點評：該題主要考查了函數解析式的確定、矩形的性質、圖形的旋轉以及勾股定理的應用等綜合知識；題目的難度不大，需要注意數形結合思想的應用．