Question

（1）如圖1,OC平分∠AOB,點P在OC上,若⊙P與OA相切,那么⊙P與OB位置關系是     ．

（2）如圖2,⊙O的半徑為2,∠AOB=120°,
①若點P是⊙O上的一個動點,當PA=PB時,是否存在⊙Q,同時與射線PA.PB相切且與⊙O相切,如果存在,求出⊙Q的半徑; 如果不存在,請說明理由．
②若點P在BO的延長線上,且滿足PA⊥PB,是否存在⊙Q,同時與射線PA.PB相切且與⊙O相切,如果存在,請直接寫出⊙Q的半徑; 如果不存在,請說明理由．

Answer 1

（1）相切;（2）①存在,半徑可以為,4 ,,;②存在．其半徑可以為1,．

試題分析：（1）作PD⊥OA于A,PE⊥OB于B,則根據角平分線定義得到PD=PE,根據切線的性質由⊙P與OA相切得到PD為⊙P的半徑,然后根據切線的判定定理可得到OB為⊙P的切線;
（2）①由PA=PB得到點P為∠AOB的平分線或反向延長線與⊙O的交點,分類討論：當P點在優弧AB上時,當P點在劣弧AB上時,然后解四個方程即可得到滿足條件的⊙Q的半徑;
②作QH⊥PB于H,由PA⊥PB得∠APB=90°,由⊙Q與射線PA.PB相切,根據切線的性質得PQ平分∠APB,即∠QPH=45°,所以QH=PH,在Rt△POA中易得OP=1,設⊙Q的半徑為r,即PH=QH=r,則OH=PH﹣OP=r﹣1,在Rt△OQH中,根據勾股定理得OQ²=OH²+QH²=（r﹣1）²+r²,
若⊙Q與⊙O內切時,OQ=2﹣r,得到（2﹣r）²=（r﹣1）²+r²,若⊙Q與⊙O外切時,OQ=2+r,得到（2+r）²=（r﹣1）²+r²,然后解兩個方程即可得到滿足條件的⊙Q的半徑．
試題解析：（1）作PD⊥OA于A,PE⊥OB于B,如圖1,
∵OC平分∠AOB,
∴PD=PE,
∵⊙P與OA相切,
∴PD為⊙P的半徑,
∴PE為⊙的半徑,
而PE⊥OB,
∴OB為⊙P的切線;
故⊙P與OB位置關系是相切;
（2）①存在
∵PA=PB,
∴點P為∠AOB的平分線或反向延長線與⊙O的交點,
如圖2,
當P點在優弧AB上時, 設⊙Q的半徑為,
若⊙Q與⊙O內切,可得,解得 ,
若⊙Q與⊙O外切,可得, 解得 ,
當P點在劣弧AB上時,
同理可得：x=,x= ,
綜上所述,存在⊙Q,半徑可以為,4 ,,;
②存在．作QH⊥PB于H,如圖3,
∵PA⊥PB,
∴∠APB=90°,
∵⊙Q與射線PA.PB相切,
∴PQ平分∠APB,
∴∠QPH=45°,
∴△QHP為等腰直角三角形,
∴QH=PH,
在Rt△POA中,∠AOP=60°,OA=2,
∴OP=1,
設⊙Q的半徑為r,即PH=QH=r,則OH=PH﹣OP=r﹣1,
在Rt△OQH中,OQ²=OH²+QH²=（r﹣1）²+r²,
若⊙Q與⊙O內切時,OQ=2﹣r,則（2﹣r）²=（r﹣1）²+r²,解得r₁=1,r₂=﹣3（舍去）;
若⊙Q與⊙O外切時,OQ=2+r,則（2+r）²=（r﹣1）²+r²,解得r₁=,r₂=（舍去）;
綜上所述,存在⊙Q,其半徑可以為1,．
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