Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A(﹣1，0)、B(3，0)，與y軸交于點C(0，﹣3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點P，使得∠APB＝∠ACO成立？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由.

(3)我們規定：對于直線l1：y＝k1x+b，直線l2：y＝k2x+b2，若直線k1k2＝﹣1，則直線l1⊥l2；反過來也成立.請根據這個規定解決下列可題：

如圖2，將該拋物線向上平移過原點與直線y＝kx(k＞0)另交于C點.點T為該二次函數圖象上位于直線OC下方的動點，過點T作直線TM⊥OC′，重足為點M，且M在線段OC′上(不與O、C′重合)，過點T作直線TN∥y軸交OC'于點N.若在點T運動的過程中，為常數，試確定k的值.

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣2x﹣3；(2)存在，點P(﹣，或(﹣，﹣)；(3)k＝.

【解析】

(1)拋物線的表達式為：y＝a(x+1)(x﹣3)＝a(x2﹣2x﹣3)，即可求解；

(2)分點P在x軸上方、點P在x軸下方兩種情況，分別求解即可；

(3)OM＝＝，ON＝m，即可求解.

解：(1)拋物線的表達式為：y＝a(x+1)(x﹣3)＝a(x2﹣2x﹣3)，

即﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3…①；

(2)tan∠APB＝tan∠ACO＝，

①當點P在x軸上方時，

則直線BP的表達式為：y＝﹣x+1…②，

聯立①②并解得：x＝3(舍去)或﹣，故點P(﹣，)；

②當點P在x軸下方時，

同理可得：點P(﹣，﹣)；

綜上，點P(﹣，或(﹣，﹣)；

(3)設點T(m，m2﹣2m)，直線ON的表達式為：y＝kx…③，

∵TM⊥OC，則直線TM為：y＝﹣x+b，

將點T的坐標代入上式并解得：

直線TM的表達式為：y＝﹣x+(m2﹣2m+)…④，

聯立③④并解得：x＝，y＝，

則OM＝＝，ON＝m，

＝，

當k＝時，＝為常數.