Question

如圖，在直角△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，點E在AC上，BE交CD于點G，EF⊥BE交AB于點F，若AC＝mBC，CE＝nEA(m，n為實數)．

試探究線段EF與EG的數量關系．

(1)如圖，當m＝1，n＝1時，EF與EG的數量關系是_________

(2)如圖，當m＝1，n為任意實數時，EF與EG的數量關系是_________

(4)如圖，當m，n均為任意實數時，EF與EG的數量關系是_________

(寫出關系式，不必證明)

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖：連接DE， 　　∵AC＝mBC，CD⊥AB，當m＝1，n＝1時 　　∴AD＝BD，∠ACD＝45°， 　　∴CD＝AD＝AB， 　　∵AE＝nEC， 　　∴DE＝AE＝EC＝AC， 　　∴∠EDC＝45°，DE⊥AC， 　　∵∠A＝45°， 　　∴∠A＝∠EDG， 　　∵EF⊥BE， 　　∵∠AEF＋∠FED＝∠EFD＋∠DEG＝90°， 　　∴∠AEF＝∠DEG， 　　∴△AEF≌△DEG(ASA)， 　　∴EF＝EG． 　　(2)解：EF＝EG證明：作EM⊥AB于點M，EN⊥CD于點N， 　　∵EM∥CD， 　　∴△AEM∽△ACD， 　　∴ 　　即EM＝CD， 　　同理可得，EN＝AD， 　　∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， 　　∴tanA＝， 　　∴， 　　又∵EM⊥AB，EN⊥CD， 　　∴∠EMF＝∠ENG＝90°， 　　∵EF⊥BE， 　　∴∠FEM＝∠GEN， 　　∴△EFM∽△EGN， 　　∴， 　　即EF＝EG； 　　(3)EF＝EG．