Question

已知，拋物線y＝ax²＋bx＋c過點A(－3，0)，B(1，0)，，此拋物線的頂點為D．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)把△ABC繞AB的中點M旋轉180°，得到四邊形AEBC．

①求E點的坐標；

②試判斷四邊形AEBC的形狀，并說明理由．

(3)試探求：在直線BC上是否存在一點P，使得△PAD的周長最小，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵過C(0，)∴ 　　又過點A(－3，0)B(1，0) 　　∴ 　　∴ 　　∴此拋物線的解析式為 　　(2)①△ABC繞AB的中點M旋轉180°．可知點E和點C關于點M對稱，∴M(－1，0)，C(0，)，∴E(－2，－)． 　�、谒倪呅�AEBC是矩形． 　　∵△ABC繞AB的中點M旋轉180°得到四邊形AEBC，∴△ABC≌△AEB 　　∴AC＝EB，AE＝BC 　　∴AEBC是平行四邊形在Rt△ACO中，OC＝，OA＝3 　　∴∠CAB＝30°∵AEBC是平行四邊形 　　∴AC∥BE∴∠ABE＝30°在Rt△COB中 　　∵OC＝，OB＝1∴∠CBO＝60° 　　∴∠CBE＝∠CBO＋∠ABE＝60°＋30°＝90°ABEC是矩形． 　　(3)假設在直線BC上存在一點P，使△PAD的周長最�。�因為AD為定值，所以使△PAD的周長最小，就是PA＋PD最��；∵AEBC是矩形，∴∠ACB＝90° 　　∴A(－3，0)關于點C(0，)的對稱點A1(3，2)． 　　點A與點A1也關于直線BC對稱．連接A1D，與直線BC相交于點P，連接PA，則△PAD的周長最�。� 　　∵B(1，0)、C(0，) 　　∴BC的解析式為 　　∵A1(3，2)、D(－1，) 　　∴A1D的解析式為． 　　∴ 　　∴ 　　∴P的坐標為()