Question

【題目】操作發現：如圖1，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB交BC于點D，過點D作DE⊥BC，交AB于點E，在EB上截取EF＝AE，過點F作FG⊥AC于點G，GF與ED相交于點H，且點H恰好為GF的中點，連接DG，DF．

（1）小明發現△GCD≌△DHF，請你寫出證明過程；

（2）小亮同學經過探究發現：AF＝AC+GC．請你幫助小亮同學證明這一結論．

特例探究：

（3）如圖2，若∠B＝30°，探究四邊形AGDE是哪種特殊的四邊形，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）四邊形AGDE是菱形，見解析.

【解析】

（1）利用角平分線與垂直的性質得到AC∥ED，得到∠BAD＝∠ADE，根據平行得到∠CDG＝∠DGF，從而求出∠FHD=∠C＝90°，再根據垂直平分線性質得到DG＝DF，∠DFG＝∠DGF，故∠CDG＝∠DFG，再根據AAS即可證明全等三角形；

（2）過D作DP⊥AB于P，根據AD平分∠CAB，DC⊥AC，得到DC＝DP，故可證得Rt△CAD≌Rt△PAD，得到AC＝AP，又GD＝FD，DC＝PD，得到Rt△GCD≌Rt△FPD

故CG＝PF，即可求出AF＝AP+PF＝AC+GC；

（3）根據∠B＝30°，FG∥BC，得到∠AFG＝30°，得到AG＝AF，AG＝AE，根據兩組對邊相等得到四邊形AGDE是平行四邊形，再由AG＝AE，得到四邊形AGDE是菱形．

證明：（1）∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD＝∠BAD，

∵DE⊥BC，∠C＝90°，

∴∠EDB＝∠C＝90°，

∴AC∥ED，

∴∠CAD＝∠ADE，

∴∠BAD＝∠ADE，

∴AE＝ED，∵FG⊥AC，

∴∠AGF＝∠C＝90°，

∴FG∥BC，

∴∠CDG＝∠DGF，

∵AC∥ED，FG⊥AC，

∴FG⊥ED，∴∠FHD＝90°，

∵點H恰好為GF的中點，

∴ED是線段GF的垂直平分線，

∴DG＝DF，∠DFG＝∠DGF，

∴∠CDG＝∠DFG，

在△GDC與△DFH中，，

∴△GDC≌△DFH（AAS）；

（2）過D作DP⊥AB于P，

∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，

∴DC＝DP，

在Rt△CAD與Rt△PAD中，

∴Rt△CAD≌Rt△PAD（HL），

∴AC＝AP，

∵GD＝FD，DC＝PD，

∴Rt△GCD≌Rt△FPD（HL），

∴CG＝PF，

∴AF＝AP+PF＝AC+GC；

（3）四邊形AGDE是菱形，

理由：∵∠B＝30°，FG∥BC，

∴∠AFG＝30°，

∴AG＝AF，

∴AG＝AE，

∵AG∥ED，AE＝DE，

∴AG＝ED，

∴四邊形AGDE是平行四邊形，

∵AG＝AE，

∴四邊形AGDE是菱形．