Question

【題目】如圖，在正方形中，邊長為的等邊三角形的頂點分別在邊和上．

（1）判斷的形狀，并說明理由；

（2）求的長；

（3）試求正方形的面積．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形，證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由等邊三角形和正方形的性質結合HL定理可證，從而求得BE=DF，然后求得CE=CF，從而可得△FCE的形狀；

（2）在等腰直角三角形中，根據勾股定理求解即可；

（3）設BE=x，則AB=BC=，然后根據勾股定理列方程求解，從而求得AB的長，則正方形面積可求．

解：（1）為等腰直角三角形

理由如下：是等邊三角形

所以=，AE=AF=EF

又∵在正方形ABCD中，AB=AD

所以在和中

∴

∴BE=DF

∴CE=CF

∵∠C＝90°，

∴為等腰直角三角形；

（2）在等腰中，，

∴

∴

解得：EC=；

（3）在中，，

設BE=x，則AB=BC=，

根據勾股定理可得：，即，

解得：或（不合題意，舍去）

所以，，

．