Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，4），頂點為（1，）．

（1）求拋物線的函數關系式；
（2）如圖①，設該拋物線的對稱軸與x軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標；
（3）如圖②，連結AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連結CE，記△CEF的面積為S，求出S的最大值及此時E點的坐標．

Answer 1

解：（1）因為拋物線的頂點為（1，），
所以設拋物線的函數關系式為y=a （ x-1）²+，
∵拋物線與y軸交于點C（0，4），
∴a（0-1）²+=4．
解得：a=-．
∴所求拋物線的函數關系式為y=-（x-1）²+．

（2）如圖①，過點C作CE⊥對稱軸與點E，
當CD=CP₁時，∵點C（0，4），頂點為（1，），
∴CD==，DE=4，
∴CP₁=，EP₁=4，
∴P₁的坐標為：（1，8），
當CD=DP₂時，P₂的坐標為：（1，），
當CP₃=DP₃時，
設CP₃=DP₃=y，
∴CE²+EP=CP，
∴1+（4-y）²=y²，
解得：y=，
∴P₃的坐標為：（1，），
當CD=CP₄時，
P₄的坐標為：（1，-），
綜上所述：符合條件的所有P點坐標是：
（1，），（1，-），（1，8），（1，）；

（3）令-（x-1）²+=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，．
∴拋物線y=-（x-1）²+與x軸的交點為A（-2，0），B（4，0）．
過點F作FM⊥OB于點M．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
=．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=×CO=EB．
設E點坐標（x，0），則EB=4-x．MF=（4-x），
∴S=S_△BCE-S_△BEF=EB•CO-EB•MF，
=EB（OC-MF）=（4-x）[4-（4-x）]
=-x²+x+=-（x-1）²+3．
Qa=-＜0，
∴S有最大值．
當x=1時，S_最大值=3．
此時點E的坐標為（1，0）．
分析：（1）將拋物線的頂點代入到拋物線的頂點式中得到y=a （ x-1）²+，然后將與y軸交于點C代入到上式中即可求得函數的解析式；
（2）利用等腰三角形的性質分別得出P點的坐標；
（3）求得拋物線與x軸的交點坐標，然后過點F作FM⊥OB于點M，利用△BEF∽△BAC即可得到函數關系式S=-x²+x+，配方后即可求得最大值，從而求得E點的坐標．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．