Question

在實數范圍內，方程x²=-1無解，為使開方運算在負數范圍內可以進行，我們規定i²=-1．定義一種新數：Z=a+bi（{a、b為實數}），并規定實數范圍內的所有運算法則對于新數Z=a+bi?（{a、b為實數}）；仍然成立．例如：Z²=（a+bi）²=（a+bi）•（a+bi）=a²+2a•bi+（bi）²=a²-b²+2abi，若Z=-

1

2

+

3

2

i，則Z2=(-

1

2

+

3

2

i)2=(-

1

2

)2+2(-

1

2

)(

3

2

i)+(

3

2

i)2=-

1

2

-

3

2

i，依據上述規定，
（1）若Z=-

1

2

+

3

2

i，試求Z³的值；
（2）若Z=-

1

2

+

3

2

i，試求z²⁰⁰⁸的值．

Answer 1

分析：（1）由于Z³=z²×z，把已求得的z²的值代入即可；
（2）由于z=-

1

2

+

3

2

i，z²=-

1

2

-

3

2

i，z³=1，z⁴=-

1

2

+

3

2

i，可得到3個為一輪，依次循環．那么2008÷3=669…1，那么z²⁰⁰⁸應和z的值相等，由此即可求解．

解答：解：（1）Z³=z²×z
=（-

1

2

-

3

2

i）×（-

1

2

+

3

2

i）
=

1

4

-（

3

2

i）²
=

1

4

-

3

4

×（-1）
=1；

（2）z=-

1

2

+

3

2

i，z²=-

1

2

-

3

2

i，z³=1，z⁴=-

1

2

+

3

2

i，
∵2008÷3=669…1，
∴z²⁰⁰⁸應和z的值相等，z²⁰⁰⁸=-

1

2

+

3

2

i．

點評：此題主要考查了實數和代數式的運算及對知識遷移運用能力，計算分析，得到相應規律是解決本題的關鍵．