Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OEFG的頂點E坐標為（4，0），頂點G坐標為（0，2）．將矩形OEFG繞點O逆時針旋轉，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，OM與GF交于點．
（1）判斷△OGA和△NPO是否相似，并說明理由；
（2）求過點A的反比例函數解析式；
（3）若（2）中求出的反比例函數的圖象與EF交于B點，請探索：直線AB與OM是否垂直，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質得到∠P=∠POM=∠OGF=90°，再根據等角的余角相等可得∠PNO=∠GOA，然后根據相似三角形的判定方法即可得到△OGA∽△NPO；
（2）由E點坐標為（4，0），G點坐標為（0，2）得到OE=4，OG=2，則OP=OG=2，PN=GF=OE=4，由于△OGA∽△NPO，則OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2，可求得GA=1，可得到A點坐標為（1，2），然后利用待定系數法即可得到過點A的反比例函數解析式；
（3）先根據B點的橫坐標為4和B點在y=

2

x

得到B點坐標為（4，

1

2

），則BF=2-

1

2

=

3

2

，而AG=1，AF=4-1=3，所以OG：AF=2：3，GA：FB=1：

3

2

=2：3，則OG：AF=GA：FB，而∠OGA=∠F，根據相似三角形的判定方法得到△OGA∽△AFB，可得∠GAO=∠ABF，由∠ABF+∠BAF=90°，則∠GAO+∠BAF=90°，于是有直線AB與OM垂直．

解答：解：（1）△OGA和△NPO相似．理由如下：
∵矩形OEFG繞點O逆時針旋轉，使點F落在y軸的點N處，得到矩形OMNP，
∴∠P=∠POM=∠OGF=90°，
∴∠PON+∠PNO=90°，∠GOA+∠PON=90°，
∴∠PNO=∠GOA，
∴△OGA∽△NPO；

（2）∵E點坐標為（4，0），G點坐標為（0，2），
∴OE=4，OG=2，
∴OP=OG=2，PN=GF=OE=4，
∵△OGA∽△NPO，
∴OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2，
∴GA=1，
∴A點坐標為（1，2），
設過點A的反比例函數解析式為y=

k

x

，
把A（1，2）代入y=

k

x

得k=1×2=2，
∴過點A的反比例函數解析式為y=

2

x

；

（3）直線AB與OM垂直．理由如下：
把x=4代入y=

2

x

中得y=

1

2

，
∴B點坐標為（4，

1

2

），
∴BF=2-

1

2

=

3

2

，
而A點坐標為（1，2），
∴AG=1，AF=4-1=3，
∴OG：AF=2：3，GA：FB=1：

3

2

=2：3，
∴OG：AF=GA：FB，
而∠OGA=∠F，
∴△OGA∽△AFB，
∴∠GAO=∠ABF，
∵∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠GAO+∠BAF=90°，
∴∠OAB=90°，
∴直線AB與OM垂直．

點評：本題考查了反比例函數綜合題：點在反比例函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足函數的解析式；運用待定系數法求函數的解析式；掌握旋轉的性質和矩形的性質；熟練掌握相似三角形的判定與性質．