Question

已知：有一紙片如圖，其中△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，BD=CD，點M在BA的延長線上．實施操作：將紙片沿一直線AN折疊，使AM和AC重合，并且過點C作CE⊥AN，垂足為點E．
（1）請用尺規，在圖中畫出折線AN；（保留作圖痕跡）
（2）將圖形補全，求證：四邊形ADCE為矩形；
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？直接寫出結論．

Answer 1

（1）解：如圖所示：
作出∠CAM的平分線即為折線AN；

（2）證明：如圖所示：
BD=CD，AD⊥BC，
∴AB=AC，∠BAD=∠DAC．
∵由作圖知AN是△ABC外角∠CAM的平分線，
∴∠MAN=∠CAN．
∴∠DAN=∠DAC+∠CAN=180°=90°．
∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四邊形ADCE為矩形．

（3）當△ABC滿足∠BAC=90°時，四邊形ADCE是一個正方形．
理由：
證明：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四邊形ADCE為矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
說明：答案只要正確均應給分．（如DC=AD，BD=AD等）
分析：（1）根據角平分線的作法得出答案即可；
（2）根據矩形的有三個角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE=90°，我樣可以證明四邊形ADCE為矩形．
（3）根據正方形的判定，我們可以假設當AD=BC，由已知可得，DC=BC，由（2）的結論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．
點評：此題主要考查了對矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性質，及角平分線的性質等知識點的綜合運用．