Question

【題目】在△ABC中，AB、AC邊的垂直平分線分別交BC邊于點M、N．

（1）如圖①，若BM2+CN2＝MN2，則∠BAC＝　 　°；

（2）如圖②，∠ABC的平分線BP和AC邊的垂直平分線相交于點P，過點P作PH垂直BA的延長線于點H，若AB＝4，CB＝10，求AH的長．

Answer 1

【答案】（1）135；（2）3；

【解析】

（1）連接AM、AN，由勾股定理的逆定理證出△AMN是直角三角形，∠MAN＝90°，證出∠AMN＝2∠B，∠ANM＝2∠C，得出∠AMN+∠ANM＝2（∠B+∠C）＝90°，證出∠B+∠C＝45°，由三角形內角和定理即可得出答案；

（2）先判斷出Rt△APH≌Rt△CPE，進而判斷出△BPH≌△BPE，根據全等三角形的性質計算即可得出結論．

解：（1）連接AM、AN，如圖①所示：

∵AB、AC邊的垂直平分線分別交BC邊于點M、N．

∴BM＝AM，CN＝AN，

∴∠B＝∠BAM，∠C＝∠CAN，

∵BM2+CN2＝MN2，

∴AM2+AN2＝MN2，

∴△AMN是直角三角形，∠MAN＝90°，

∵∠AMN＝∠B+∠BAM，∠ANM＝∠C+∠CAN，

∴∠AMN＝2∠B，∠ANM＝2∠C，

∴∠AMN+∠ANM＝2（∠B+∠C）＝90°，

∴∠B+∠C＝45°，

∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣45°＝135°；

故答案為：135；

（2）連接AP、CP，過點P作PE⊥BC于點E，如圖②所示：

∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，

∴PH＝PE，

∵點P在AC的垂直平分線上，

∴AP＝CP，

在Rt△APH和Rt△CPE中，

，

∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL）

∴AH＝CE，

在△BPH和△BPE中，

，

∴△BPH≌△BPE（AAS）

∴BH＝BE，

∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，

∴AH＝（BC﹣AB）＝3．