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【題目】如圖,已知拋物線x軸交于A、軸交于AB兩點,與y軸交于點C,拋物線的對稱軸交x軸于點D,已知A10),C02).

1)求拋物線的表達式;

2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使PCD是以CD為腰的等腰三角形?如果存在,直接寫出P點的坐標;如果不存在,請說明理由;

3)點E是線段BC上的一個動點,過點Ex軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大?求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.

【答案】1y=x2+x+22P14),P2 ),P3.3)四邊形CDBF的面積最大=,E21

【解析】試題分析:(1)把A1,0),C0,2)代入y=x2+mx+n,然后解方程組即可;(2)先確定出拋物線的對稱軸x=,然后PCD是以CD為腰的等腰三角形分情況討論即可,(3)求出點B的坐標(40),然后求出直線BC的解析式,過點CCMEFM,設Ea,a+2),Faa2+a+2),然后用a表示出四邊形CDBF的面積,利用配方法化為頂點式,利用二次函數的性質可解決問題.

試題解析:(1∵拋物線y=x2+mx+n經過A1,0),C0,2).

解得: ,∴拋物線的解析式為:y=x2+x+2 ;

2):y=x2+x+2;∴拋物線的對稱軸是x=

OD=

C02),OC=2

RtOCD中,由勾股定理,得

CD=

∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形,

CP1=CP2=CP3=CD

CHx軸于H,

HP1=HD=2DP1=4

P1,4),P2, ),P3,.

3)當y=0時,0=x2+x+2

x1=﹣1x2=4,

B4,0).

設直線BC的解析式為y=kx+b,由圖象,得,解得: ,

∴直線BC的解析式為:y=x+2

如圖2,過點CCMEFM

Ea, a+2),Fa,a2+a+2),

EF=a2+a+2a+2=a2+2a0≤x≤4).

S四邊形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN

=+aa2+2a+4a)(a2+2a),

=a2+4a+0≤x≤4).

=a22+

a=2時,S四邊形CDBF的面積最大=,

E21

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5

8

10

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