Question

（2013•臨沂）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，E為BC上一點，以CE為直徑作⊙O，AB與⊙O相切于點D，連接CD，若BE=OE=2．
（1）求證：∠A=2∠DCB；
（2）求圖中陰影部分的面積（結果保留π和根號）．

Answer 1

分析：（1）連接OD，求出∠ODB=90°，求出∠B=30°，∠DOB=60°，求出∠DCB度數，關鍵三角形內角和定理求出∠A，即可得出答案；
（2）根據勾股定理求出BD，分別求出△ODB和扇形DOE的度數，即可得出答案．

解答：（1）證明：連接OD，
∵AB是⊙O切線，
∴∠ODB=90°，
∴BE=OE=OD=2，
∴∠B=30°，∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC=

1

2

∠DOB=30°，
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∴∠A=2∠DCB；

（2）解：∵∠ODB=90°，OD=2，BO=2+2=4，由勾股定理得：BD=2

3

，
∴陰影部分的面積S=S_△ODB-S_扇形DOE=

1

2

×2

3

×2-

60π•22

360

=2

3

-

2

3

π．

點評：本題考查了含30度角的直角三角形性質，勾股定理，扇形的面積，勾股定理，切線的性質等知識點的應用，主要考查學生綜合性運用性質進行推理和計算的能力．