Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（-2，0）和原點O，頂點是D．
（1）求拋物線y=ax²+2x+c的解析式；
（2）在x軸的上方的拋物線上有點M，連接DM，與線段OA交于N點，若S_△MON：S_△ODN=2：1，求點M的坐標；
（3）若點H是x軸上的一點，以H、A、D為頂點作平行四邊形，該平行四邊形的另一個頂點F在y軸上，寫出H點的坐標（直接寫出答案，不要求寫出計算過程）．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+2x+c經過點A和點O，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式是．

（2）由拋物線y=+2知其頂點D的坐標是（-1，-）．
設點M的坐標是（x₀，y₀），且y₀＞0．
∵S_△MON：S_△ODN=2：1，
∴．
∵y_M：|y_D|=2：1，|y_D|=，
∴．
將y_M=2代入y=x²+2x中，得x=-1±，
∴滿足條件的點M有兩個，即M₁（-1+，2），M₂（-1-，2）．

（3）如圖：滿足條件的H點有3個，它們分別是H₁（-1，0），H₂（-3，0），H₃（1，0）．
分析：（1）由拋物線經過點A（-2，0）和原點O，利用待定系數法求解即可求得二次函數的解析式；
（2）首先由拋物線y=+2求得頂點D的坐標，然后由S_△MON：S_△ODN=2：1，可得y_M：|y_D|=2：1，則可求得點M的縱坐標，再將其代入函數解析式，即可求得點M的橫坐標，則問題的解；
（3）由平行四邊形的性質，分別以AF，AD，DF為對角線去分析即可求得答案．
點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，三角形面積的比以及平行四邊形的性質等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是注意數形結合與分類討論思想的應用．