Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM．設點N的坐標為（m，n）．

（1）若建立平面直角坐標系，滿足原點在線段BD上，點B（﹣1，0），A（0，1）．且BM＝t（0＜t≤2），則點D的坐標為　　，點C的坐標為　　；請直接寫出點N縱坐標n的取值范圍是　　；

（2）若正方形的邊長為2，求EC的長，以及AM+BM+CM的最小值．（提示：連結MN，，）

Answer 1

【答案】（1）D（1，0），C（0，﹣1）；0＜n≤；（2）EC=+，AM+BM+CM的最小值為+

【解析】

（1）如圖1，以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標系，根據正方形的性質得到OA＝OB＝OC＝OD，由點B（1，0），A（0，1），于是得到D（1，0），C（0，1）；過N作NH⊥BD于h，根據旋轉的性質得到∠NBH＝60°，BM＝BN，求得NH＝BN＝t，于是得到結論；
（2）如圖所示，連接MN，過E作EH⊥BC，交CB的延長線于H，由旋轉的性質得到BM＝BN，∠NBM＝60°，求得△BMN是等邊三角形，求得MN＝BM，根據等邊三角形的性質得到BE＝BA，∠ABE＝60°，求得∠ABM＝∠EBN，根據全等三角形的性質得到AM＝EN，求得AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM，當E，N，M，C在同一直線上時，AM＋BM＋CN的最小值是CE的長，利用勾股定理即可得到結論．

解：（1）如圖1，以直線BD為x軸，直線AC為y軸，建立平面直角坐標系，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA＝OB＝OC＝OD，

∵點B（﹣1，0），A（0，1），

∴D（1，0），C（0，﹣1）；

過N作NH⊥BD于h，

∴∠NHB＝90°，

∵將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，

∴∠NBH＝60°，BM＝BN，

∴NH＝BN＝t，

∵0＜t≤2，

∴點N縱坐標n的取值范圍是0＜n≤；

（2）如圖2所示，連接MN，過E作EH⊥BC，交CB的延長線于H，

由旋轉可得，BM＝BN，∠NBM＝60°，

∴△BMN是等邊三角形，

∴MN＝BM，

∵△ABE是等邊三角形，

∴BE＝BA，∠ABE＝60°，

∴∠ABM＝∠EBN，

∴△ABM≌△EBN（SAS），

∴AM＝EN，

∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM，

∴當E，N，M，C在同一直線上時，AM+BM+CN的最小值是CE的長，

又∵∠ABE＝60°，∠ABH＝90°，

∴∠EBH＝30°，

∴Rt△EBH中，EH＝EB＝×2＝1，

∴BH＝＝＝，

∴CH＝2+，

∴Rt△CEH中，CE＝＝＝＝；

∴AM+BM+CM的最小值為+．