Question

如圖，直線經過點B(，2)，且與x軸交于點A．將拋物線沿x軸作左右平移，記平移后的拋物線為C，其頂點為P．

（1）求∠BAO的度數；

（2）拋物線C與y軸交于點E，與直線AB交于兩點，其中一個交點為F，當線段EF∥x軸時，求平移后的拋物線C對應的函數關系式；

（3）在拋物線平移過程中，將△PAB沿直線AB翻折得到△DAB，點D能否落在拋物線C上？如能，求出此時拋物線C頂點P的坐標；如不能，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：(1)∵點B在直線AB上,求得b=3,

∴直線AB：,  

∴A（，0），即OA=．

作BH⊥x軸，垂足為H．則BH=2，OH=，AH=．

∴ ．　

(2)設拋物線C頂點P（t，0），則拋物線C：，　

∴E（0，）

∵EF∥x軸，∴點E、F關于拋物線C的對稱軸對稱, ∴F（2t，）．

∵點F在直線AB上, 

∴拋物線C為. 

(3)假設點D落在拋物線C上，

不妨設此時拋物線頂點P(t，0)，則拋物線C:，AP=+ t，

連接DP，作DM⊥x軸，垂足為M．由已知，得△PAB≌△DAB，

又∠BAO＝30°，∴△PAD為等邊三角形．PM=AM＝，

∴ 

∵點D落在拋物線C上，

∴ 

當時，此時點P，點P與點A重合，不能構成三角形，不符合題意，舍去．所以點P為（，0）  ∴當點D落在拋物線C上頂點P為（，0）.　

【解析】（1）先根據題意求出b的值，得到直線AB的解析式，再求出直線與x軸的交點A的坐標，即可求出OA的長，作BH⊥x軸，垂足為H，即可求出BH、OH、AH的長，從而得到結果；

（2）先根據頂點式設出拋物線解析式，即可表示出點E的坐標，再由EF∥x軸，可知點E、F關于拋物線C的對稱軸對稱，從而可以表示出點F的坐標，再根據點F在直線AB上即可求出結果；

（3）先假設點D落在拋物線C上，根據頂點式設出解析式，證得△PAB≌△DAB，可得△PAD為等邊三角形，再根據等邊三角形的性質及拋物線特征即可得到結果。