Question

小明在學習三角形知識時，發現如下三個有趣的結論：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M為直線AC上一點，ME⊥BC，垂足為E，∠AME的平分線交直線AB于點F．

（1）M為邊AC上一點，則BD、MF的位置是______．請你進行證明．
（2）M為邊AC反向延長線上一點，則BD、MF的位置關系是______．請你進行證明．
（3）M為邊AC延長線上一點，猜想BD、MF的位置關系是______．請你進行證明．

Answer 1

解：（1）BD∥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠AME=360°-90°×2=180°，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，
∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，
又∵∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠ABD=∠AFM，
∴BD∥MF；

（2）BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠AMF+∠ADB=90°，
∴BD⊥MF；

（3）BD⊥MF．
理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，
∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠AME，
∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，
∴∠ABD=∠AMF，
∵∠AMF+∠F=90°，
∴∠ABD+∠F=90°，
∴BD⊥MF．
分析：（1）根據角平分線的定義與四邊形的內角和定理求出∠ABD+∠AMF=90°，又∠AFM+∠AMF=90°，然后證明得到∠ABD=∠AFM，然后根據同位角相等，兩直線平行可得BD∥MF；
（2）先證明∠ABC=∠AME，再根據角平分線的定義可得∠ABD=∠AMF，然后根據∠ABD+∠ADB=90°得到∠AMF+∠ADB=90°，從而得到BD⊥MF；
（3）先證明∠ABC=∠AME，再根據角平分線的定義可得∠ABD=∠AMF，然后根據∠AMF+∠F=90°得到∠ABD+∠F=90°，從而得到BD⊥MF．
點評：本題考查了直角三角形的性質，垂線的定義，平行線的判定，三角形的內角和定理，本題規律性較強，準確識圖，準確找出角度之間的關系是解題的關鍵．