Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點E是AB上一點，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點，拋物線y=ax2+bx+c過點D，B，C三點．

（1）請直接寫出點B、D的坐標：B（ ），D（ ）；

（2）求拋物線的解析式；

（3）求證：ED是⊙P的切線；

（4）若點M為拋物線的頂點，請直接寫出平面上點N的坐標，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）（-4，0）；D（0，2）；（2）y=-x2-x+；(3)證明見解析；（4）點N的坐標為（-5，）、（3，）、（-3，-）．

【解析】

試題分析：（1）先確定B（-4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2，可得D（0，2）；

（2）利用交點式，待定系數法可求拋物線的解析式；

（3）先計算出CD=2OC=4，再根據平行四邊形的性質，結合相似三角形的判定可得△AED∽△COD，根據相似三角形的性質和圓周角定理得到CD為⊙P的直徑，于是根據切線的判定定理得到ED是⊙P的切線；

（4）利用配方得到y=-（x+1）2+，根據平行四邊形的性質和點平移的規律，利用分類討論的方法確定N點坐標．

試題解析：（1）∵C（2，0），BC=6，

∴B（-4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=，

∴D（0，）．

（2）設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x-2），

把D（0，）代入得a×4×（-2）=，解得a=-，

∴拋物線的解析式為y=-（x+4）（x-2）=-x2-x+；

（3）在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴,，

∴，

∵∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△COD，

∴∠ADE=∠CDO，

∵∠ADE+∠ODE=90°

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD為⊙P的直徑，

∴ED是⊙P的切線；

（4）存在．

∵y=-x2-x+=-（x+1）2+，

∴M（-1，），

∵B（-4，0），D（0，），

如圖2，

當BM為平行四邊形BDMN的對角線時，點D向左平移4個單位，再向下平移個單位得到點B，則點M（-1，）向左平移4個單位，再向下平移個單位得到點N1（-5，）；

當DM為平行四邊形BDMN的對角線時，點B向右平移3個單位，再向上平移個單位得到點M，則點D（0，）向右平移3個單位，再向上平移個單位得到點N2（3，）；

當BD為平行四邊形BDMN的對角線時，點M向左平移3個單位，再向下平移個單位得到點B，則點D（0，）向右平移3個單位，再向下平移個單位得到點N3（-3，-），

綜上所述，點N的坐標為（-5，）、（3，）、（-3，-）．