Question

在平面直角坐標系中，對于⊙A上一點B及⊙A外一點P，給出如下定義：若直線PB與 x軸有公共點（記作M），則稱直線PB為⊙A的“x關聯直線”，記作.
（1）已知⊙O是以原點為圓心，1為半徑的圓，點P（0,2），
①直線：，直線：，直線：，直線：都經過點P，在直線， ， ， 中，是⊙O的“x關聯直線”的是     ；
②若直線是⊙O的“x關聯直線”，則點M的橫坐標的最大值是    ；
（2）點A（2,0）,⊙A的半徑為1，
①若P（-1,2）,⊙A的“x關聯直線”：，點M的橫坐標為，當最大時，求k的值；
②若P是y軸上一個動點，且點P的縱坐標，⊙A的兩條“x關聯直線”,是⊙A的兩條切線，切點分別為C,D，作直線CD與x軸點于點E，當點P的位置發生變化時， AE的長度是否發生改變？并說明理由．

Answer 1

（1）①;②;（2）①;②不變,理由見解析.

試題分析：（1）①②直接根據定義求解即可.
（2）①當直線PB與⊙A相切于點B時,此時點M的橫坐標最大，求出此時的k的值.
②根據定義和銳角三角函數定義得出,即,而得出結論.
試題解析：（1）①.
②.
（2）①如圖，當直線PB與⊙A相切于點B時,此時點M的橫坐標最大，
作PH⊥x軸于點H，
∴HM=，AM= ，
在Rt△ABM和Rt△PHM中， ，
∴BM=HM=．
在Rt△ABM中， ，
∴，解得．
∴點M的橫坐標最大時，．∴．

②當P點的位置發生變化時，AE的長度不發生改變．
如圖，⊙A的兩條“x關聯直線”與⊙A相切于點C,D， ∴PC=PD．
又∵AC=A，∴AP垂直平分BC．
在Rt△ADF和Rt△ADP中， ，∴．
在Rt△AEF和Rt△AOP中， ，∴．
∴．
∴，即當P點的位置發生變化時，AE的長度不發生改變．