Question

【題目】如圖，直線L：交x軸與點A，交y軸與點B，點C在x軸正半軸上，且OC=2，點D在線段AC上，且∠CDB=∠ABC，過點C作BC的垂線，交BD的延長線與點E，并聯結AE

（1）求證：△CDB∽△CBA

（2）求點E的坐標

（3）若點P是直線CE上的一動點，聯結DP若△DEP和△ABC相似，求點P的坐標

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）E（-2，-2）；（3），.

【解析】

（1）直接由題目已知∠CDB=∠ABC和公共角∠BCA=∠BCA得出；

（2）先利用勾股定理，求出，由△CDB∽△CBA，得到，可求出CD的長度，找出D點的坐標，再利用B,D兩點坐標，求出直線BD的關系式為，設點E的坐標為（a，3a+4），根據△BCE是等腰直角三角形，利用勾股定理可得，化簡求值即可；

（3）根據題意和（1）、（2）中的結果，利用分類討論的方法可以求得點P的坐標．

解：（1）∵∠CDB=∠ABC，∠BCA=∠BCA，

∴△CDB∽△CBA

（2）由（1）可知△CDB∽△CBA，

∴ ,

∴，

∵直線L：交x軸于點A，交y軸于點B，
∴點A的坐標為（-4，0），點B的坐標為（0，4），
∴在Rt△AOB中，，

∴，

又∵，

∴，

∴在Rt△OCB中，
，

根據，

∴，

∴

即：，，

設過點B（0，4），的直線解析式為，

∴，解之得： ，

即直線BD的解析式為，
∵點E在直線BD上，
∴設點E的坐標為（a，3a+4），
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠BAO=∠BAC=45°，

∵△ABC∽△BDC，∠BAC=∠DBC，
∴∠DBC=45°，
∵BC⊥CE，
∴∠BCE=90°，
∴∠BEC=45°，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE，

∵點B（0，4），點C（2，0），點E（a，3a+4），

∴

解得，a=-2或a=0（舍去），
當a=-2時，3a+4=-2，

∴點E的坐標為（-2，-2），

（3）由（2）知，∠DEP=45°，∠BAC=45°，
當∠EDP=∠ABC時，△DEP與△ABC相似，

則： ，

∵ ，AC=6，點D（，0），點E（-2，-2），

∴，

∴ ，

解得， ，

設過點E（-2，-2），C（2，0）的直線解析式為，

，解之得： ，

即直線EC的解析式為 ，

∵點P在直線EC上，
∴設點P的坐標為（c，），

∵點E（-2，-2），，

解得，c=-4（舍去）或c=0，
∴當c=0時， ，

即點P的坐標為（0，-1）；
當∠EPD=∠ABC時，△DEP與△ABC相似，
則，

∵ ，AC=6，，

∴，解得：，

∵直線EC的解析式為，點P在直線EC上，

∴設點P的坐標為（d，），

∵點E（-2，-2），，

∴，

解得： （舍去）或 ，

當時，，

即點P的坐標為（，）；
由上可得，當△DEP與△ABC相似時，點P坐標是（0，-1）或

（，）．