Question

在某段限速公路BC上（公路視為直線），交通管理部門規定汽車的最高行駛速度不能超過60千米/時 （即米/秒），并在離該公路100米處設置了一個監測點A．在如圖所示的直角坐標系中，點A位于y軸上，測速路段BC在x軸上，點B在A的北偏西60°方向上，點C在A的北偏東45°方向上，另外一條高速公路在y軸上，AO為其中的一段．
（1）寫出A、B、C三點的坐標；
（2）一輛汽車從點B勻速行駛到點C所用的時間是15秒，通過計算，判斷該汽車在這段限速路上是否超速？（參考數據：）
（3）若一輛大貨車在限速路上以60千米/時的速度由C處向西行駛，同時一輛小汽車在高速公路上由A處以貨車2倍的速度向北行駛，求兩車在勻速行駛半分鐘后，它們的距離是多少米？（結果保留根號）

Answer 1

解：（1）由已知，得OA=100，∠OAB=60°，∠OAC=45°，
∴在直角三角形AOB和直角三角形AOC中，
OB=OA•tan60°=100，
OC=OA•tan45°=100，
所以A、B、C三點的坐標分別為A（0，-100），B（-100，0），C（100，0）．

（2）由（1）得BC=OB+OC=100+100≈270，
所以該汽車在這段限速路上的速度為：270÷15=18=＞，
所以該汽車在這段限速路上超速．

（3）設貨車行至M，小汽車行至N，
由已知則，（半分鐘=30秒）
AN=×2×30=1000，
CM=×30=500，
所以，ON=AN-OA=1000-100=900，
OM=CM-OC=500-100=400，
在直角三角形MON中根據勾股定理得：
MN²=OM²+ON²=400²+900²，
∴MN==100，
答：它們的距離是100米．
分析：（1）由已知得OA=100，∠OAB=60°，∠OAC=45°，由直角三角形AOB和直角三角形AOC和點B在A的北偏西60°方向上，點C在A的北偏東45°方向上，求出OB和OC，從而寫出A、B、C三點的坐標；
（2）由（1）我們可以知道一輛汽車從點B勻速行駛到點C所行駛的路程即BC=OB+OC，求出這輛汽車的速度與限速比較得出答案．
（3）先求出貨車和小汽車行駛的路程，分別減去OC、OA，得OM、ON，在根據勾股定理求出它們的距離．
點評：此題考查的知識點是解直角三角形的應用-方向角問題，解題的關鍵是把實際問題轉化成解直角三角形問題及函數問題．