Question

【題目】如圖△ABC為等邊三角形，直線a∥AB，D為直線BC上一點，∠ADE交直線a于點E，且∠ADE=60°．

（1）若D在BC上（如圖1）求證CD+CE=CA；

（2）若D在CB延長線上，CD、CE、CA存在怎樣數量關系，給出你的結論并證明．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CD、CE、CA滿足CE+CA=CD，證明見解析.

【解析】

（1）實際上也就是求兩條線段相等，在AC上取一點F，使CF=CD，然后求證△ADF≌△EDC即可;（2）歸根究底仍是求兩條線段的問題，通過求證全等，最終得出幾條邊之間的關系．

（1）證明：在AC上取點F，使CF=CD，連接DF．

∵∠ACB=60°，

∴△DCF為等邊三角形．

∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°．

∴∠3=∠5．

∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，

∴∠1=∠2．

在△ADF和△EDC中，

，

∴△ADF≌△EDC（AAS）．

∴CE=AF．

∴CD+CE=CF+AF=CA．

（2）解：CD、CE、CA滿足CE+CA=CD；

證明：

在CA延長線上取CF=CD，連接DF．

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ACD=60°，

∵CF=CD，

∴△FCD為等邊三角形．

∵∠1+∠2=60°，

∵∠ADE=∠2+∠3=60°，

∴∠1=∠3．

在△DFA和△DCE中

，

∴△DFA≌△DCE（ASA）．

∴AF=CE．

∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．