Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點和點．

（1）該拋物線的對稱軸為直線________；

（2）已知該拋物線的開口向下，當時，的最大值是4，求此范圍內的最小值．

（3）在（2）的條件下，直線過點，且與該拋物線的另一個交點為點，點為拋物線對稱軸上的動點，當為等腰三角形時直接寫出點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）最小值為－5；（3）點的坐標為(1，-3)或(1，)或(1，-)或(1，-5+)或(1，-5-)．

【解析】

（1）根據對稱軸的公式，直接求解，即可；

（2）當時，的最大值是4，得n=4+m，把代入得：，求出m，n的值，由拋物線的對稱性，可知：當x=4時，y有最小值，進而即可求解；

（3）先求出B，C的坐標，設P(1，t)，用含t的代數式表示出，，，分3種情況，分別列出關于t的方程，即可求解．

（1）拋物線的對稱軸為：直線x=，

故答案是：1；

（2）∵該拋物線的開口向下，對稱軸為：直線x=1，當時，的最大值是4，

∴當x=1時，的最大值=m-2m+n=4，即： n=4+m，

把代入，得：，

∴m=-1，n=3，

∴，

∵當時，4-1＞1-（-1），

∴當x=4時，y的最小值=，

答：此范圍內的最小值為：-5；

（3）∵拋物線與軸交于點和點，對稱軸為：直線x=1，

∴B(3，0)，

∵直線過點，

∴a=-3，

∴直線，

聯立，得，解得：，

∴C(-2，-5)，

∵點為拋物線對稱軸上的動點，

∴設P(1，t)，

則，，，

當PB=PC時，，解得：t=-3，即P(1，-3)，

當PB=BC時，，解得：t=，即P(1，)，P(1，-)，

當PC=BC時，，解得：t=-5，即P(1，-5+)，P(1，-5-)，

綜上所述：點的坐標為：(1，-3)或(1，)或(1，-)或(1，-5+)或(1，-5-)．