【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點H,點F是上一點,連接AF交CD的延長線于點E.
(1)求證:△AFC∽△ACE;
(2)若AC=5,DC=6,當點F為的中點時,求AF的值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)根據條件得出=
,推出∠AFC=∠ACD,結合公共角得出三角形相似;
(2)根據已知條件證明△ACF≌△DEF,得出AC=DE,利用勾股定理計算出AE的長度,再根據(1)中△AFC∽△ACE,得出=
,從而計算出AF的長度.
(1)∵CD⊥AB,AB是⊙O的直徑
∴=
∴∠AFC=∠ACD.
∵在△ACF和△AEC中,∠AFC=∠ACD,∠CAF=∠EAC
∴△AFC ∽△ACE
(2)∵四邊形ACDF內接于⊙O
∴∠AFD+∠ACD=180°
∵∠AFD+∠DFE=180°
∴∠DFE=∠ACD
∵∠AFC=∠ACD
∴∠AFC=∠DFE.
∵△AFC∽△ACE
∴∠ACF=∠DEF.
∵F為的中點
∴AF=DF.
∵在△ACF和△DEF中,∠ACF=∠DEF,∠AFC=∠DFE,AF=DF
∴△ACF≌△DEF.
∴AC=DE=5.
∵CD⊥AB,AB是⊙O的直徑
∴CH=DH=3.
∴EH=8
在Rt△AHC中,AH2=AC2-CH2=16,
在Rt△AHE中,AE2=AH2+EH2=80,∴AE=4.
∵△AFC∽△ACE
∴=
,即
=
,
∴AF=.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm.點P、Q是BC邊上兩個動點(點Q在點P右邊),PQ=2cm,點P從點C出發,沿CB向右運動,運動時間為t秒.5s后點Q到達點B,點P、Q停止運動,過點Q作QD⊥BC交AB于點D,連接AP,設△ACP與△BQD的面積和為S(cm),S與t的函數圖像如圖2所示.
(1)圖1中BC= cm,點P運動的速度為 cm/s;
(2)t為何值時,面積和S最小,并求出最小值;
(3)連接PD,以點P為圓心線段PD的長為半徑作⊙P,當⊙P與的邊相切時,求t的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD=6,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=60°,點M、N分別在AB、AD邊上,若AM:MB=AN:ND=1:2.則∠BCD= °,cos∠MCN= .
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,點D是AB邊上一點(不與A、B重合),若過點D的直線截得的三角形與△ABC相似,并且平分△ABC的周長,則AD的長為____.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】問題探究:三角形的角平分線是初中幾何中一條非常重要的線段,它除了具有平分角、角平分線上的點到角兩邊的距離相等這些性質外,還具有以下的性質:
如圖①,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于點D,則=
.提示:過點C作CE∥AD交BA的延長線于點E.
請根據上面的提示,寫出得到“”這一結論完整的證明過程.
結論應用:如圖②,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=15,AD平分∠BAC交BC于點D.請直接利用“問題探究”的結論,求線段CD的長.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與
軸相交于
,
兩點,頂點
在第一象限,點
在該拋物線上.
(1)若點坐標為
.
①求與
的函數關系式;
②已知兩點,
,當拋物線
與線段
沒有交點時,求
的取值范圍;
(2)若點在該拋物線的曲線段
上(不與點
,
重合),直線
交
軸于點
,過
點作
軸于點
,連接
,
.求證:
.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=x(0<x≤8),點E在邊CD上,且CE=CB,以AE為對角線作正方形AGEF.設正方形AGEF的面積y.
(1)當點F在矩形ABCD的邊上時,x= .
(2)求y與x的函數關系式及y的取值范圍.
(3)當矩形ABCD的一條邊將正方形AGEF的面積分為1:3兩部分時,直接寫出x的值.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,將點定義為點
的“關聯點”. 已知點
在函數
的圖像上,將點A的“關聯點”記為點
.
(1)請在如圖基礎上畫出函數的圖像,簡要說明畫圖方法;
(2)如果點在函數
的圖像上,求點
的坐標;
(3)將點稱為點
的“待定關聯點”(其中
),如果點
的“待定關聯點”
在函數
的圖像上,試用含
的代數式表示點
的坐標.
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