Question

【題目】長方形的長為a厘米，寬為b厘米，其中a>b,如果將原長方形的長和寬各增加3厘米，得到的新長方形面積記為S1，如果將原長方形的長和寬分別減少2厘米，得到的新長方形面積記為S2．

（1）若a、b為正整數，請說明：S1與S2的差一定是5的倍數；

（2）如果S1＝2S2，求將原長方形的長和寬分別減少7厘米后得到的新長方形面積；

（3）如果用一個面積為S1的長方形和兩個面積為S2的長方形恰好能沒有縫隙沒有重疊地拼成一個正方形，求a，b的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）將原長方形的長和寬分別減少7厘米后得到的新長方形面積為50平方厘米；（3）a，b的值分別為7和4.5

【解析】

（1）分別求出S1，S2，S1﹣S2的值，從而求解；（2）由S1＝2S2，求得ab﹣7a﹣7b＝1，然后求出將原長方形的長和寬分別減少7厘米后得到的新長方形面積，最后整體代入求值即可；（3）由題意，根據拼接圖形的邊長之間的等量關系，列方程組求解，根據問題的實際意義作出取舍即可．

解：（1）證明：由題意得：

S1＝（a+3）（b+3）＝ab+3（a+b）+9

S2＝（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2（a+b）+4

∴S1﹣S2＝ab+3（a+b）+9﹣ab+2（a+b）﹣4

＝5（a+b）+5＝5（a+b+1） ∴S1與S2的差一定是5的倍數．

（2）∵S1＝2S2，

∴ab+3a+3b+9＝2（ab﹣2a﹣2b+4）

∴ab﹣7a﹣7b-1＝0

∴ab﹣7a﹣7b＝1

∵將原長方形的長和寬分別減少7厘米后得到的新長方形面積為：

（a﹣7）（b﹣7）＝ab﹣7a﹣7b+49＝1+49＝50

∴將原長方形的長和寬分別減少7厘米后得到的新長方形面積為50平方厘米．

（3）由題意可得方程組：

①

解得

②

解得：故該組方程組的解不符合題意

∴a，b的值分別為7和4.5