Question

如圖，直線l₁的解析表達式為y=x+1，且l₁與x軸交于點B（-1，0），與y軸交于點D．l₂與y軸的交點為C（0，-3），直線l₁、l₂相交于點A（2，3），結合圖象解答下列問題：
（1）S_△ADC=______；直線l₂表示的一次函數的解析式______；
（2）當x為何值時，l₁、l₂表示的兩個函數的函數值都大于0．
（3）在x軸的正半軸上是否存在點P，使得△ADP為等腰三角形？若存在，直接寫出所有點P的坐標；若不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）∵直線AB解析式為y=x+1，∴D（0，1），
又∵C（0，-3），∴CD=1-（-3）=4，
∴S_△ADC=×4×2=4，
設直線l₂的解析式為y=kx+b，
將A（2，3），C（0，-3）兩點代入，得，解得，
所以，直線l₂的解析式為y=3x-3，
故答案為：4，y=3x-3；

（2）由直線l₁的解析式y=x+1，得B（-1，0），
由直線l₂的解析式y=3x-3，得E（1，0），
所以，當x＞1時，l₁、l₂表示的兩個函數的函數值都大于0；

（3）存在．由勾股定理可知AD==2＜3，
分三種情況：
①以A為圓心，AD為半徑畫弧，由于AD＜3，弧與x軸無交點，此時，P點不存在，
②以D為圓心，AD為半徑畫弧與x軸正半軸有1個交點，P（，0），
③作線段AD的垂直平分線，與x軸有1個交點，P（3，0），
即：滿足題意的P點坐標為（，0）或（3，0）．
分析：（1）由直線AB解析式為y=x+1可知，D（0，1），又C（0，-3），可知CD=4，而A點橫坐標為2，由此可求S_△ADC，由A（2，3），C（0，-3），利用“兩點法”可求直線l₂的解析式；
（2）由l₁、l₂的解析式可求B、E兩點坐標，根據兩點坐標，確定l₁、l₂表示的兩個函數的函數值都大于0時，x的取值范圍；
（3）存在．由勾股定理可知AD=2＜3，分三種情況：①以A為圓心，AD為半徑畫弧與x軸無交點，此時，P點不存在，②以D為圓心，AD為半徑畫弧與x軸正半軸有1個交點，此時，P點有1個，③作線段AD的垂直平分線，與x軸正半軸有1個交點，此時，P點有1個．
點評：本題考查了一次函數的綜合運用．關鍵是利用待定系數法求一次函數解析式，根據解析式求圖象與坐標軸的交點，形數結合．利用等腰三角形的性質，采用畫弧，作垂直平分線的方法，在x軸上找等腰三角形的頂點坐標．