Question

在Rt△ABC中，∠C=90°．CD為斜邊AB上的高，P為線段AD上一點，連接CP，過B點作CP的垂線，垂足為H，且分別與CD、AC交于點E、F．
求證：（1）CD²=AD•BD；
（2）△CDP∽△BDE．

Answer 1

證明：（1）∵CD⊥AB，∠C=90°
∴∠DCB+∠CBD=90°，∠CAD+∠CBD=90°，
∴∠CAD=∠DCB
又∠CDA=∠BDC=90°
∴△CDA∽△BDC
∴
∴CD²=AD•BD

（2）∵CD⊥AB，BH⊥CP
∴∠PCD+∠CPD=90°
∠HBP+∠CPD=90°
∴∠PCD=∠HBP
又∵∠CDP=∠BDE=90°
∴△CDP∽△BDE
分析：（1）根據題意可推出∠CAD=∠DCB，即可推出△CDA∽△BDC，即CD²=AD•BD；
（2）根據題意可推出∠PCD=∠HBP，即可推出△CDP∽△BDE．
點評：本題主要考查直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質，關鍵在于利用圖中的直角三角形求出∠CAD=∠DCB，∠PCD=∠HBP．