Question

如圖，直角梯形OABC中，AB∥OC，O為坐標原點，點A在y軸正半軸上，點C在x軸正半軸上，點B坐標為（2，2），∠BCO=60°，OH⊥BC于點H．動點P從點H出發，沿線段HO向點O運動，動點Q從點O出發，沿線段OA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度．設點P運動的時間為t秒．
（1）求OH的長；
（2）若△OPQ的面積為S（平方單位）．求S與t之間的函數關系式．并求t為何值時，△OPQ的面積最大，最大值是多少；
（3）設PQ與OB交于點M．
①當△OPM為等腰三角形時，求（2）中S的值．
②探究線段OM長度的最大值是多少，直接寫出結論．

Answer 1

解：（1）∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2
∴OB=4，tan∠ABO=，
∴∠ABO=60°，
∵AB∥OC
∴∠BOC=60°
又∵∠BCO=60°
∴△BOC為等邊三角形
∴OH=OBcos30°=4×=2；

（2）∵OP=OH-PH=2-t
∴x_p=OPcos30°=3-t，
y_p=OPsin30°=-t．
∴S=•OQ•x_p=•t•（3-t）
=（o＜t＜2）
即S=-
∴當t=時，S_最大=；

（3）①若△OPM為等腰三角形，則：
（i）若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=y_p即t=-
解得：t=
此時S=
（ii）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°，∴∠OQP=45°
過P點作PE⊥OA，垂足為E，則有：EQ=EP
即t-（-t）=3-t
解得：t=2
此時S=
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB，∴PQ∥OA
此時Q在AB上，不滿足題意．
②線段OM長的最大值為．
分析：（1）由圖知圖形很特殊，利用直線的平行關系，求出直角，在直角三角形中解題，從而求出OH的長；
（2）由幾何關系求出P點坐標，將△OPQ的面積為S用t來表示，轉化為求函數最值問題；
（3）思維要嚴密，△OPM為等腰三角形時，要分三種情況來討論；最后一問求出M點坐標，同樣轉化為函數最值問題．
點評：此題是一道動態型壓軸題，融函數、數形結合，分類討論等重要數學思想于其中的綜合題，考查的知識主要有：直線形、解直角三角形、函數等重點知識，此題計算較易，但對學生的能力要求較高，解題時要切實把握幾何圖形的運動過程，用運動、發展、全面的觀點分析圖形，采取“動中求靜，靜中求動”的解題策略，才能作出正確的解答．該題綜合性強、靈活性大、區分度高，是今后中考命題的搶眼題型，要引起我們今后教學的高度關注．