Question

如圖．拋物線y=-x²-2x+3與x軸相交于點A和點B，與y軸交于點C．
（1）求點A、點B和點C的坐標．
（2）求直線AC的解析式．
（3）設點M是第二象限內拋物線上的一點，且S_△MAB=6，求點M的坐標．
（4）若點P在線段BA上以每秒1個單位長度的速度從 B 向A運動（不與B，A重合），同時，點Q在射線AC上以每秒2個單位長度的速度從A向C運動．設運動的時間為t秒，請求出△APQ的面積S與t的函數關系式，并求出當t為何值時，△APQ的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

解：（1）令-x²-2x+3=0，（x+3）（x-1）=0，x₁=-3，x₂=1，
A（-3，0）B．（1，0），C（0，3）；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，
由題意，得，
解之得，
故y=x+3；

（3）設M點的坐標為（x，-x²-2x+3），
AB=4，因為M在第二象限，所以-x²-2x+3＞0，
所以=6，
解之，得x₁=0，x₂=-2，
當x=0時，y=3，（不合題意）
當x=-2時，y=3．
所以M點的坐標為（-2，3）；

（4）由題意，得AB=4，PA=4-t，
∵AO=3，CO=3，
∴△AOC是等腰直角三角形，AQ=2t，
所以Q點的縱坐標為t，
S=（0＜t＜4）
∵，
∴當t=2時，△APQ最大，最大面積是．
分析：（1）令y=0求得拋物線與橫軸的交點坐標，令x=0求得圖象與y軸的交點坐標即可．
（2）利用已知的兩點的坐標根據待定系數法求得一次函數的解析式即可．
（3）設出點M的坐標為（x，-x²-2x+3），然后表示出其面積=6，解得即可．
（4）由題意，得AB=4，PA=4-t，根據AO=3，CO=3，得到△AOC是等腰直角三角形，然后根據AQ=2t，求得Q點的縱坐標為t，最后求出S與t的函數關系式后利用二次函數的性質求出S的最大值．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．