Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點D是直線BC上一點，BD=1，將射線AD繞點A逆時針旋轉45°得到射線AE，交直線BC于點E，則DE=________．

Answer 1

分析：先根據直角三角形的性質得到BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=45°，AH=BH=BC=2，然后討論：當點D在線段BC上，則DH=BH-BD=2-1=1，DC=BC-BD=4-1=3，利用勾股定理可計算出AD=，易得△DAE∽△DCA，則DA：DC=DE：DA，即：3=DE：，得到DE=；當點D在線段CB的延長線上，同樣的方法可計算出DE=．
解答：過A作AH⊥BC與H，
∵∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴BC=AB=4，∠ABC=∠ACB=45°，
∴AH=BH=BC=2，
當點D在線段BC上，如圖．
∵BD=1，
∴DH=BH-BD=2-1=1，DC=BC-BD=4-1=3，
在Rt△AHD中，AD==，
∵射線AD繞點A逆時針旋轉45°得到射線AE，
∴∠DAE=45°，
而∠ADE=∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴DA：DC=DE：DA，即：3=DE：，
∴DE=；
當點D在線段CB的延長線上，如圖，
∵DB=1，
∴DH=BH+BD=2+1=3，DC=BC+BD=4+1=5，
在Rt△AHD中，AD==，
∵射線AD繞點A逆時針旋轉45°得到射線AE，
∴∠DAE=45°，
而∠ADE=∠CDA，
∴△DAE∽△DCA，
∴DA：DC=DE：DA，即：5=DE：，
∴DE=，
故答案為或．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；對應點到旋轉中心的距離相等．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質以及相似三角形的判定與性質．