Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x＝1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設運動時間為t秒．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在圖①中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．當t為何值時，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖②中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）當t＝或t＝時，△PCQ為直角三角形；（3）當t＝2時，△ACQ的面積最大，最大值是1．

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸與矩形的性質可得點A的坐標，根據待定系數法可得拋物線的解析式；

（2）先根據勾股定理可得CE，再分兩種情況：當∠QPC＝90°時；當∠PQC＝90°時；討論可得△PCQ為直角三角形時t的值；

（3）根據待定系數法可得直線AC的解析式，根據S△ACQ＝S△AFQ+S△CPQ可得S△ACQ＝＝﹣（t﹣2）2+1，依此即可求解．

解：（1）∵拋物線的對稱軸為x＝1，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點A在DE上，

∴點A坐標為（1，4），

設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a（3﹣1）2+4＝0，解得a＝﹣1．

故拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，即y＝﹣x2+2x+3；

（2）依題意有：OC＝3，OE＝4，

∴CE＝＝＝5，

當∠QPC＝90°時，

∵cos∠QPC＝，

∴，解得t＝；

當∠PQC＝90°時，

∵cos∠QCP＝，

∴，解得t＝．

∴當t＝或 t＝時，△PCQ為直角三角形；

（3）∵A（1，4），C（3，0），

設直線AC的解析式為y＝kx+b，則有：

，解得．故直線AC的解析式為y＝﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），將y＝4﹣t代入y＝﹣2x+6中，得x＝1+，

∴Q點的橫坐標為1+，將x＝1+ 代入y＝﹣（x﹣1）2+4 中，得y＝4﹣．

∴Q點的縱坐標為4﹣，

∴QF＝（4﹣）﹣（4﹣t）＝t﹣，

∴S△ACQ ＝S△AFQ +S△CFQ

＝FQAG+FQDG，

＝FQ（AG+DG），

＝FQAD，

＝×2（t﹣），

＝﹣（t﹣2）2+1，

∴當t＝2時，△ACQ的面積最大，最大值是1．